Erreurs fréquentes : Nombres complexes (Terminale)
Ce chapitre construit l'ensemble $\mathbb{C}$, dans lequel toute équation du second degré à coefficients réels admet des solutions, et donne trois écritures d'un même nombre : algébrique, trigonométrique et exponentielle. Ces outils servent à calculer des puissances, à transformer des expressions trigonométriques et à traduire des problèmes de géométrie plane en calculs.
Écrire que la partie imaginaire de $3-2i$ est $-2i$.
La partie imaginaire est un réel : $\mathrm{Im}(3-2i)=-2$. On a $z=\mathrm{Re}(z)+i\,\mathrm{Im}(z)$.
Écrire $\sqrt{-16}=4i$ ou $z=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ avec $\Delta<0$.
Le symbole $\sqrt{\;}$ n'est défini que pour les réels positifs. Si $\Delta<0$, les solutions sont $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, ce qui n'a de sens que pour des coefficients $a,b,c$ réels.
Croire que $|z+z'|=|z|+|z'|$ ou que $\arg(z+z')=\arg z+\arg z'$.
Module et argument se comportent bien pour les produits et quotients, pas pour les sommes. On a seulement $|z+z'|\leq|z|+|z'|$. Par exemple $|1+i|=\sqrt2\neq 2$.
Déterminer un argument avec le seul cosinus : pour $\sqrt3-i$, trouver $\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et conclure $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.
Il faut aussi le signe du sinus : ici $\sin\theta=-\dfrac12$, donc $\theta=-\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi]$. Placer le point dans le plan évite l'erreur.
Prendre $-3e^{i\pi/4}$ pour une forme exponentielle, de module $-3$ et d'argument $\dfrac{\pi}{4}$.
Un module est positif. Comme $-1=e^{i\pi}$, $-3e^{i\pi/4}=3e^{i5\pi/4}$ : module $3$, argument $\dfrac{5\pi}{4}\;[2\pi]$. Même vigilance avec la méthode de l'angle moitié, où le facteur réel peut être négatif.
Ne donner qu'une solution de $z^n=a$, ou en donner $n+1$ en prenant $k$ de $0$ à $n$.
L'équation $z^n=a$ ($a\neq 0$) a exactement $n$ solutions, obtenues pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$. La valeur $k=n$ redonne la solution $k=0$.
Utiliser $\dfrac{b-a}{c-a}$ pour mesurer l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)$ : le vecteur d'arrivée au numérateur, celui de départ au dénominateur. Le quotient inverse donne l'angle opposé.
Résoudre $z+2\overline{z}=3-i$ en « isolant $z$ » comme si $\overline{z}$ était une constante.
Quand $z$ et $\overline{z}$ apparaissent ensemble, on pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels et on identifie parties réelles et imaginaires pour obtenir un système réel.