QCM : Nombres complexes (Terminale)
Ce chapitre construit l'ensemble $\mathbb{C}$, dans lequel toute équation du second degré à coefficients réels admet des solutions, et donne trois écritures d'un même nombre : algébrique, trigonométrique et exponentielle. Ces outils servent à calculer des puissances, à transformer des expressions trigonométriques et à traduire des problèmes de géométrie plane en calculs.
Quelle est la partie imaginaire de $(2-3i)(1+i)$ ?
On développe : $(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i^2=2-i+3=5-i$. La partie imaginaire est le réel $-1$. Le piège principal est de répondre $-i$ : la partie imaginaire est un réel, c'est le coefficient de $i$. La réponse $5$ est la partie réelle. La réponse $1$ vient d'une erreur de signe sur $2i-3i$.
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{1}{1-2i}$ ?
On multiplie en haut et en bas par le conjugué $1+2i$ : $\dfrac{1+2i}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{1+2i}{1+4}=\dfrac15+\dfrac25i$. Le piège principal est de calculer $(1-2i)(1+2i)=1-4=-3$ : on a en réalité $1-(2i)^2=1+4=5$, c'est-à-dire $a^2+b^2$. La réponse $1+\frac12i$ inverse séparément les parties, ce qui est faux. La réponse $\frac15-\frac25i$ oublie de conjuguer au numérateur.
Quel est l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z-1+i|=2$ ?
On écrit $z-1+i=z-(1-i)$. L'égalité $|z-(1-i)|=2$ signifie $AM=2$ avec $A(1-i)$ : c'est le cercle de centre $A$ et de rayon $2$. Le piège principal est de lire le centre directement dans l'expression $z-1+i$, ce qui donne $-1+i$ : il faut d'abord mettre sous la forme $|z-a|$. Le rayon $4$ vient d'une confusion entre $r$ et $r^2$ dans l'équation cartésienne $(x-1)^2+(y+1)^2=4$.
Quelles sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2+2z+5=0$ ?
Les coefficients sont réels et $\Delta=4-20=-16<0$, avec $\sqrt{-\Delta}=4$. Les solutions sont $\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$. Vérification : somme $-2=-\frac ba$, produit $1+4=5=\frac ca$. La réponse $1\pm2i$ vient de l'oubli du signe dans $-b$. La réponse $-1\pm4i$ divise $-b$ par $2a$ mais pas $i\sqrt{-\Delta}$. Enfin, l'absence de solution n'est vraie que dans $\mathbb{R}$.
Quel est un argument de $z=-\sqrt{3}+i$ ?
On a $|z|=\sqrt{3+1}=2$, puis $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac12$. L'angle ayant ce cosinus et ce sinus est $\dfrac{5\pi}{6}$ ; le point est dans le deuxième quadrant. Le piège principal est de ne regarder que le cosinus : $-\dfrac{5\pi}{6}$ a le même cosinus mais un sinus négatif. Les réponses $\pm\dfrac{\pi}{6}$ viennent d'un oubli du signe de la partie réelle.
Que vaut $\left(1+i\sqrt{3}\right)^6$ ?
On a $1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}$, donc $\left(1+i\sqrt3\right)^6=2^6e^{6i\pi/3}=64e^{2i\pi}=64$. La réponse $-26$ provient de l'erreur $(a+b)^6=a^6+b^6$, qui donne $1+(i\sqrt3)^6=1-27$ : le binôme comporte tous les termes croisés. Les réponses $-64$ et $64i$ viennent d'une mauvaise réduction de $2\pi$ modulo $2\pi$.
Quelle est une forme exponentielle de $z=-2e^{i\pi/3}$ ?
Le module doit être strictement positif. Comme $-1=e^{i\pi}$, on a $z=2e^{i\pi}e^{i\pi/3}=2e^{4i\pi/3}=2e^{-2i\pi/3}$. Le piège principal est de remplacer $\frac{\pi}{3}$ par $\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ : multiplier par $-1$ ajoute $\pi$ à l'argument, ce n'est pas une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La réponse $2e^{-i\pi/3}$ correspond au conjugué, et $2e^{i\pi/3}$ oublie simplement le signe.
En utilisant les formules d'Euler, quelle est la linéarisation de $\sin^2\theta$ ?
On calcule $\sin^2\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2=\dfrac{e^{2i\theta}-2+e^{-2i\theta}}{-4}=\dfrac{2\cos(2\theta)-2}{-4}=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}$. Le piège principal est d'écrire $(2i)^2=4$ au lieu de $-4$, ce qui donne $\dfrac{\cos(2\theta)-1}{2}$, une quantité négative alors qu'un carré est positif. La réponse $\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$ est la linéarisation de $\cos^2\theta$.
On note $\omega=e^{2i\pi/5}$. Que vaut $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4$ ?
C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\omega\neq1$ : elle vaut $\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=\dfrac{1-1}{1-\omega}=0$. C'est la somme des éléments de $\mathbb{U}_5$, nulle comme pour tout $n\geq2$. La réponse $5$ ajoute les modules au lieu des nombres, ce qui revient à croire que $|z+z'|=|z|+|z'|$. La réponse $1$ est le produit des éléments de $\mathbb{U}_5$, et non leur somme.
Dans le plan complexe, on considère $A(1)$, $B(2+i)$ et $C(i)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
On calcule $Z=\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-1+i}{1+i}=\dfrac{(-1+i)(1-i)}{2}=\dfrac{-1+2i+1}{2}=i$. Comme $|Z|=1$, on a $AC=AB$. Comme $\arg Z=\frac{\pi}{2}\;[2\pi]$, l'angle en $A$ est droit. Contrôle : $AB=AC=\sqrt2$ et $BC=|-2|=2$, avec $2+2=4$. Le piège principal est de ne retenir que $|Z|=1$ et de conclure seulement à un triangle isocèle, sans exploiter l'argument.