Erreurs fréquentes : Fonction logarithme népérien (Terminale)
La fonction logarithme népérien permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x=5$ ou $0{,}8^n<0{,}01$. Elle transforme les produits en sommes, et on la retrouve dans les études de fonctions, les suites et les modèles de croissance ou de décroissance.
Résoudre une équation avec ln sans déterminer le domaine, et garder une solution comme $x=-1$ dans $\ln x+\ln(x-2)=\ln3$.
Toujours commencer par écrire les conditions d'existence (arguments strictement positifs) sur l'équation de départ, puis vérifier que chaque solution trouvée appartient au domaine.
Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ ou $\ln(a-b)=\frac{\ln a}{\ln b}$.
La relation fonctionnelle concerne les produits et les quotients : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$.
Diviser par $\ln(0{,}8)$ sans changer le sens de l'inégalité dans $n\ln(0{,}8)<\ln(0{,}01)$.
Pour $0<q<1$, $\ln q<0$. Diviser par un nombre négatif change le sens : $n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}$.
Dériver $\ln(u)$ en $\frac1u$, par exemple $\big(\ln(x^2+1)\big)'=\frac1{x^2+1}$.
On n'oublie pas la dérivée de la fonction intérieure : $\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$, ici $\frac{2x}{x^2+1}$.
Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$, ou écrire $\ln(x^2)=2\ln x$ pour tout réel $x\neq0$.
$(\ln x)^2=\ln x\times\ln x$, alors que $\ln(x^2)=2\ln|x|$. L'égalité $\ln(x^2)=2\ln x$ n'est vraie que pour $x>0$.
Écrire $\ln 0=0$ ou $\ln 0=1$, ou calculer $\ln$ d'un nombre négatif.
$\ln$ n'est définie que sur $]0\,;+\infty[$. C'est $\ln1$ qui vaut $0$, et $\ln e$ qui vaut $1$. En $0$, on parle seulement de limite : $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.
Conclure que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$ vaut $1$ ou est « infini sur infini donc impossible à calculer ».
C'est une forme indéterminée levée par les croissances comparées : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$, car $x$ l'emporte sur $\ln x$.