Exercices corrigés : Fonction logarithme népérien (Terminale)
La fonction logarithme népérien permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x=5$ ou $0{,}8^n<0{,}01$. Elle transforme les produits en sommes, et on la retrouve dans les études de fonctions, les suites et les modèles de croissance ou de décroissance.
Exercice 1 · Calculs directs avec la définition
application●●●
Utiliser $e^{\ln x}=x$ et $\ln(e^x)=x$Utiliser les propriétés algébriques de $\exp$ et de $\ln$
a) $24=2^3\times3$, donc $A=\ln(2^3)+\ln 3=3\ln 2+\ln 3$.
b) $9=3^2$ et $16=2^4$, donc $B=\ln(3^2)-\ln(2^4)=2\ln 3-4\ln 2$.
c) $12=2^2\times 3$ et $18=2\times3^2$. Ainsi :
$$3\ln12=3(2\ln2+\ln3)=6\ln2+3\ln3,\qquad 2\ln18=2(\ln2+2\ln3)=2\ln2+4\ln3.$$
Donc $C=6\ln2+3\ln3-2\ln2-4\ln3=4\ln2-\ln3$.
d) $72=2^3\times3^2$, donc
$$D=\frac12\ln72=\frac12\left(3\ln2+2\ln3\right)=\frac32\ln2+\ln3.$$
a) Domaine : $x-1>0$ et $x+1>0$, soit $x>1$. $D=]1\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $\ln\big((x-1)(x+1)\big)=\ln8\iff x^2-1=8\iff x^2=9\iff x=3$ ou $x=-3$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$.
b) Domaine : $x>0$ et $x+6>0$, soit $D=]0\,;+\infty[$.
Sur $D$, $2\ln x=\ln(x^2)$, donc l'équation équivaut à $x^2=x+6$, soit $x^2-x-6=0$. $\Delta=1+24=25$, d'où $x=\dfrac{1+5}{2}=3$ ou $x=\dfrac{1-5}{2}=-2$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$.
c) Domaine : $D=]0\,;+\infty[$. On pose $X=\ln x$ : $X^2-X-2=0$. $\Delta=1+8=9$, d'où $X=\dfrac{1+3}{2}=2$ ou $X=\dfrac{1-3}2=-1$.
$\ln x=2\iff x=e^2$ ;
$\ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Ces deux valeurs sont strictement positives : $\mathcal S=\left\{\dfrac1e\,;e^2\right\}$.
d) Domaine : $x+3>0$ et $x>0$, soit $D=]0\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $1+\ln x=\ln e+\ln x=\ln(ex)$. L'équation équivaut à $\ln(x+3)=\ln(ex)\iff x+3=ex\iff x(e-1)=3\iff x=\dfrac{3}{e-1}$ (car $e-1\neq0$).
Comme $e-1>0$, $\dfrac3{e-1}>0$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\left\{\dfrac{3}{e-1}\right\}$.
Résultat :
a) $\{3\}$ ; b) $\{3\}$ ; c) $\{e^{-1}\,;e^2\}$ ; d) $\left\{\frac{3}{e-1}\right\}$
Exercice 7 · Inéquations avec ln et exp
entrainement●●●
Résoudre une inéquation avec $\ln$Utiliser la stricte croissance de $\ln$ et de $\exp$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
a) Domaine : $2x-3>0\iff x>\frac32$ et $x+1>0\iff x>-1$. Donc $D=\left]\frac32\,;+\infty\right[$.
Sur $D$ : $\ln(2x-3)<\ln(x+1)\iff2x-3<x+1\iff x<4$.
En croisant avec $D$ : $\mathcal S=\left]\dfrac32\,;4\right[$.
b) Domaine : $x>0$. Sur $]0\,;+\infty[$ : $\ln x\geqslant\ln(e^2)\iff x\geqslant e^2$. Comme $e^2>0$ : $\mathcal S=[e^2\,;+\infty[$.
c) On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'inéquation devient $X^2-5X+6\leqslant0$, soit $(X-2)(X-3)\leqslant0$. Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines : $2\leqslant X\leqslant3$.
Or $2\leqslant e^x\leqslant3\iff\ln2\leqslant x\leqslant\ln3$, par stricte croissance de $\ln$. Donc $\mathcal S=[\ln2\,;\ln3]$.
d) Domaine : $1-x>0\iff x<1$, $D=]-\infty\,;1[$.
Sur $D$ : $\ln(1-x)>\ln e\iff1-x>e\iff x<1-e$.
Comme $1-e\approx-1{,}72<1$, on obtient $\mathcal S=]-\infty\,;1-e[$.
Résultat :
a) $\left]\frac32\,;4\right[$ ; b) $[e^2\,;+\infty[$ ; c) $[\ln2\,;\ln3]$ ; d) $]-\infty\,;1-e[$
Exercice 8 · Seuils : doublement d'un capital et élimination d'un médicament
entrainement●●●
Modéliser par une suite géométriqueRésoudre $q^n>a$ ou $q^n<a$ avec $\ln$
Partie 1. Un capital de $1000$ euros est placé à intérêts composés au taux annuel de $3\,\%$. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.
Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Déterminer, par le calcul, au bout de combien d'années le capital aura au moins doublé.
Partie 2. Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est de $20$ mg/L. Elle diminue ensuite de $10\,\%$ chaque heure. On note $c_n$ la concentration, en mg/L, au bout de $n$ heures.
Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $c_n<0{,}2$.
Chaque année, le capital est multiplié par $1+\frac{3}{100}=1{,}03$. La suite $(C_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $C_0=1000$ : $C_n=1000\times1{,}03^n$.
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n\geqslant2000$.
$$C_n\geqslant2000\iff1{,}03^n\geqslant2\iff n\ln(1{,}03)\geqslant\ln2,$$
car $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et les deux membres sont strictement positifs. Comme $1{,}03>1$, $\ln(1{,}03)>0$, donc
$$n\geqslant\frac{\ln2}{\ln(1{,}03)}\approx23{,}45.$$
Le capital aura au moins doublé au bout de $24$ années. Vérification : $1000\times1{,}03^{23}\approx1973{,}6$ et $1000\times1{,}03^{24}\approx2032{,}8$.
Chaque heure, la concentration est multipliée par $1-\frac{10}{100}=0{,}9$ : $c_n=20\times0{,}9^n$.
Comme $0<0{,}9<1$, $\ln(0{,}9)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :
$$n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)}\approx43{,}71.$$
Le plus petit entier qui convient est $n=44$. Vérification : $20\times0{,}9^{43}\approx0{,}215$ et $20\times0{,}9^{44}\approx0{,}194$.
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Exercice 12 · Encadrement de ln(1 + 1/n) et limite de (1 + 1/n)^n
approfondissement●●●
Utiliser la concavité de $\ln$Encadrer et utiliser le théorème des gendarmesCalculer une somme télescopique
Justifier, à l'aide de la concavité de la fonction $\ln$, que pour tout réel $x>0$ : $\ln x\leqslant x-1$.
En appliquant l'inégalité précédente au réel $\frac1x$, montrer que pour tout réel $x>0$ : $\ln x\geqslant1-\dfrac1x$.
En déduire que, pour tout entier $n\geqslant1$ :
$$\frac1{n+1}\leqslant\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant\frac1n.$$
En déduire $\lim_{n\to+\infty}n\ln\left(1+\dfrac1n\right)$, puis $\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n$.
Pour $n\geqslant1$, on pose $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k$. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n+1)$, puis que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty$.
Pour tout $x>0$, $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$, donc $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ et sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes. La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=\ln'(1)(x-1)+\ln1=x-1$. Donc, pour tout $x>0$, $\ln x\leqslant x-1$.
Soit $x>0$. Alors $\frac1x>0$ et, d'après 1., $\ln\left(\frac1x\right)\leqslant\frac1x-1$, soit $-\ln x\leqslant\frac1x-1$. En multipliant par $-1$ : $\ln x\geqslant1-\dfrac1x$.
Soit $n\geqslant1$ et $x=1+\frac1n=\frac{n+1}{n}>0$. On a $x-1=\frac1n$ et $1-\frac1x=1-\frac{n}{n+1}=\frac1{n+1}$. Les questions 1. et 2. donnent :
$$\frac1{n+1}\leqslant\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant\frac1n.$$
En multipliant par $n>0$ :
$$\frac{n}{n+1}\leqslant n\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant1.$$
Or $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac1{1+\frac1n}\to1$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty}n\ln\left(1+\frac1n\right)=1$.
Par ailleurs $\left(1+\frac1n\right)^n=e^{\ln\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)}=e^{n\ln\left(1+\frac1n\right)}$. La fonction $\exp$ étant continue en $1$, par composition : $\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e^1=e$.
Pour $k\geqslant1$, $\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln\left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln(k+1)-\ln k$. La somme est télescopique :
$$\sum_{k=1}^{n}\big(\ln(k+1)-\ln k\big)=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1).$$
D'après 3., pour tout $k\geqslant1$, $\frac1k\geqslant\ln\left(1+\frac1k\right)$. En sommant ces inégalités pour $k$ de $1$ à $n$ : $H_n\geqslant\ln(n+1)$.
Comme $\lim_{n\to+\infty}\ln(n+1)=+\infty$, par comparaison $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty$.
Exercice 13 · La fonction ln x / x : comparaison et équation à paramètre
approfondissement●●●
Étudier une fonction quotient avec $\ln$Utiliser la monotonie pour comparer des nombresDiscuter le nombre de solutions selon un paramètre
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.
Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, puis dresser son tableau de variations.
Sans calculatrice, en utilisant $\pi>e$, comparer les nombres $e^\pi$ et $\pi^e$.
Soit $m$ un réel. Montrer que l'équation $\ln x=mx$ équivaut sur $]0\,;+\infty[$ à $f(x)=m$, puis discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de cette équation.
a) Vérifier que $f(2)=f(4)$.
b) En déduire l'ensemble des réels $x>0$ tels que $2^x=x^2$.
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Exercice 14 · Sujet type bac : étude d'une fonction et de son asymptote oblique
examen●●●
Étudier le signe d'une fonction auxiliaireÉtudier une fonction : limites, variations, asymptote, tangente, convexitéUtiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Partie A
Soit $g$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x)=x^2-1+\ln x$.
Étudier les variations de $g$ sur $]0\,;+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.
Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{\ln x}{x}$, et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On note $\Delta$ la droite d'équation $y=x$.
Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
Montrer que pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$.
a) Montrer que $\Delta$ est asymptote à $\mathcal C_f$ en $+\infty$.
b) Étudier la position relative de $\mathcal C_f$ et de $\Delta$.
Montrer que $\mathcal C_f$ admet une unique tangente parallèle à $\Delta$ et en donner une équation.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et que $f''(x)=\dfrac{3-2\ln x}{x^3}$. Étudier la convexité de $f$ et donner l'abscisse de son point d'inflexion.
Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha<1<\beta$. Donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
$g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $g'(x)=2x+\dfrac1x$. Pour $x>0$, $2x>0$ et $\frac1x>0$, donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
$g(1)=1-1+\ln1=0$. Comme $g$ est strictement croissante :
$x$
$0$
$1$
$+\infty$
$g(x)$
$-$
$0$
$+$
$g(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g(1)=0$, $g(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.
Partie B
En $0$ : $\dfrac{\ln x}{x}=\ln x\times\dfrac1x$ tend vers $-\infty$ (produit de $-\infty$ par $+\infty$), donc $-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty$. Comme $x\to0$, $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$.
En $+\infty$ : par croissances comparées $\frac{\ln x}{x}\to0$, et $x\to+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
Par dérivation d'un quotient : $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$. Donc
$$f'(x)=1-\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}.$$
Comme $x^2>0$, $f'(x)$ a le signe de $g(x)$, étudié en partie A. Et $f(1)=1-0=1$.
$x$
$0$
$1$
$+\infty$
$f'(x)$
$-$
$0$
$+$
$f(x)$
$+\infty$
$\searrow$
$1$
$\nearrow$
$+\infty$
a) $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, donc $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0$ : la droite $\Delta$ est asymptote oblique à $\mathcal C_f$ en $+\infty$.
b) Comme $x>0$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$ a le signe de $-\ln x$ :
sur $]0\,;1[$, $\ln x<0$ donc $f(x)-x>0$ : $\mathcal C_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
en $x=1$, $f(1)-1=0$ : $\mathcal C_f$ et $\Delta$ se coupent au point $(1\,;1)$ ;
sur $]1\,;+\infty[$, $\ln x>0$ donc $f(x)-x<0$ : $\mathcal C_f$ est en dessous de $\Delta$.
La tangente au point d'abscisse $a$ est parallèle à $\Delta$ si et seulement si son coefficient directeur vaut $1$, c'est-à-dire $f'(a)=1$ :
$$\frac{a^2-1+\ln a}{a^2}=1\iff a^2-1+\ln a=a^2\iff\ln a=1\iff a=e.$$
Il y a donc une unique tangente parallèle à $\Delta$, au point d'abscisse $e$. On a $f(e)=e-\dfrac1e$, d'où l'équation $y=1\times(x-e)+e-\dfrac1e$, soit
$$y=x-\frac1e.$$
Comme $x^3>0$, $f''(x)$ a le signe de $3-2\ln x$. Or $3-2\ln x>0\iff\ln x<\frac32\iff x<e^{\frac32}$.
$f$ est convexe sur $\left]0\,;e^{\frac32}\right]$ et concave sur $\left[e^{\frac32}\,;+\infty\right[$. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $e^{\frac32}$ : $\mathcal C_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e^{\frac32}\approx4{,}48$.
Sur $]0\,;1]$, $f$ est continue et strictement décroissante, avec $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=1$. Comme $2\in]1\,;+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ a une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$.
Sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante, avec $f(1)=1$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ : l'équation a une unique solution $\beta$ dans $]1\,;+\infty[$.
L'équation admet donc exactement deux solutions, et $\alpha<1<\beta$.
À la calculatrice : $f(2{,}3)\approx1{,}938<2$ et $f(2{,}4)\approx2{,}035>2$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ : $2{,}3<\beta<2{,}4$.
Résultat :
$f$ décroissante sur $]0\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty[$, minimum $1$ ; tangente $y=x-\frac1e$ ; inflexion en $x=e^{3/2}$ ; $2{,}3<\beta<2{,}4$
Exercice 15 · Sujet type bac : suite définie par u(n+1) = 1 + ln(u(n))
examen●●●
Étudier le signe d'une fonction pour établir une inégalitéRaisonner par récurrenceÉtudier la convergence d'une suite et déterminer sa limiteCompléter un programme Python
Partie A
Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=1+\ln x$, et $\varphi$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $\varphi(x)=1+\ln x-x$.
Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0\,;+\infty[$.
En déduire que pour tout réel $x>0$, $\ln x\leqslant x-1$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
Justifier que $h$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et calculer $h(1)$.
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1+\ln(u_n)$.
Donner la valeur exacte de $u_1$, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_1$ et de $u_2$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
On note $\ell$ sa limite. Justifier que $\ell=1+\ln\ell$ et en déduire la valeur de $\ell$.
Partie C
On remplace $u_0=2$ par $u_0=\frac12$. Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeur exacte et valeur approchée à $10^{-2}$). Que peut-on dire de $u_3$ ?
On revient à $u_0=2$. Recopier et compléter la fonction Python suivante, qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n-1<p$, où $p$ est un réel strictement positif.
from math import log
def seuil(p):
u = 2
n = 0
while .......... :
u = ..........
n = n + 1
return n