Fonction logarithme népérien
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
La fonction logarithme népérien permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x=5$ ou $0{,}8^n<0{,}01$. Elle transforme les produits en sommes, et on la retrouve dans les études de fonctions, les suites et les modèles de croissance ou de décroissance.
Prérequis
- Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites, croissances comparées ($\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$)
- Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone)
- Dérivée d'une fonction composée $(g\circ u)'=u'\times g'\circ u$
- Limites de fonctions : opérations, composition, formes indéterminées
- Convexité : lien avec le signe de la dérivée seconde, position par rapport aux tangentes
À la fin du chapitre, on sait
- Connaître la définition de $\ln$ comme fonction réciproque de $\exp$ et utiliser $e^{\ln x}=x$ et $\ln(e^x)=x$
- Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier et transformer des expressions
- Connaître et démontrer la dérivée de $\ln$, connaître ses variations, son signe et sa convexité
- Connaître les limites de $\ln$ aux bornes et les croissances comparées, démontrer $\lim_{x\to0}x\ln x=0$
- Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$, en déterminant d'abord le domaine
- Étudier une fonction de la forme $\ln(u)$ : ensemble de définition, dérivée, variations, limites
1.Définition de la fonction logarithme népérien
Existence et unicité
Pour tout réel $x>0$, l'équation $e^y=x$, d'inconnue $y\in\mathbb{R}$, admet une unique solution.
En effet, la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{y\to-\infty}e^y=0$ et $\lim_{y\to+\infty}e^y=+\infty$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$ a un unique antécédent par $\exp$.
Logarithme népérien
Pour tout réel $x>0$, on appelle logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$ (ou $\ln(x)$), l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$.
La fonction $\ln : x\mapsto \ln x$ est définie sur $]0\,;+\infty[$. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : $$\text{pour } x>0 \text{ et } y\in\mathbb{R},\quad y=\ln x \iff e^y=x.$$
Conséquences immédiates
- Pour tout réel $x>0$ : $e^{\ln x}=x$.
- Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x)=x$.
- $\ln 1=0$ car $e^0=1$.
- $\ln e=1$ car $e^1=e$.
Valeurs à connaître : $e\approx 2{,}718$ et $\ln 2\approx 0{,}693$.
Calculs directs
- $\ln(e^3)=3$ et $\ln(e^{-2})=-2$.
- $e^{\ln 7}=7$.
- $e^{2\ln 3}=\left(e^{\ln 3}\right)^2=3^2=9$.
- L'équation $e^x=5$ a pour unique solution $x=\ln 5\approx1{,}609$.
- L'équation $e^x=-2$ n'a pas de solution, car une exponentielle est toujours strictement positive.
Courbes symétriques
Dans un repère orthonormé, la courbe de $\ln$ est la symétrique de la courbe de $\exp$ par rapport à la droite d'équation $y=x$. Le point $(0\,;1)$ de la courbe de $\exp$ correspond au point $(1\,;0)$ de la courbe de $\ln$.
Le domaine avant tout
$\ln x$ n'existe que pour $x>0$. Les écritures $\ln 0$ ou $\ln(-3)$ n'ont aucun sens. Toute expression contenant $\ln(\dots)$ impose que ce qui est entre parenthèses soit strictement positif.
2.Propriétés algébriques
Relation fonctionnelle
Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $$\ln(ab)=\ln a+\ln b.$$
Preuve de la relation fonctionnelle
Soient $a>0$ et $b>0$. D'une part $e^{\ln(ab)}=ab$. D'autre part, avec la propriété $e^{u+v}=e^ue^v$ : $$e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab.$$ Ainsi $e^{\ln(ab)}=e^{\ln a+\ln b}$. La fonction $\exp$ étant strictement croissante, elle est injective : deux réels qui ont la même exponentielle sont égaux. Donc $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
Conséquences
Pour tous réels $a>0$, $b>0$ et tout entier relatif $n$ :
- $\ln\left(\dfrac1a\right)=-\ln a$
- $\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln a-\ln b$
- $\ln(a^n)=n\ln a$
- $\ln(\sqrt a)=\dfrac12\ln a$
Preuve des conséquences
- $\ln a+\ln\left(\frac1a\right)=\ln\left(a\times\frac1a\right)=\ln 1=0$, donc $\ln\left(\frac1a\right)=-\ln a$.
- $\ln\left(\frac ab\right)=\ln\left(a\times\frac1b\right)=\ln a+\ln\left(\frac1b\right)=\ln a-\ln b$.
- Pour $n\in\mathbb{N}$, on raisonne par récurrence. Pour $n=0$ : $\ln(a^0)=\ln1=0=0\times\ln a$. Si $\ln(a^n)=n\ln a$, alors $\ln(a^{n+1})=\ln(a^n\times a)=\ln(a^n)+\ln a=n\ln a+\ln a=(n+1)\ln a$. Pour $n$ entier négatif, on écrit $n=-p$ avec $p\in\mathbb{N}$ : $\ln(a^{-p})=\ln\left(\frac1{a^p}\right)=-\ln(a^p)=-p\ln a=n\ln a$.
- $a=(\sqrt a)^2$, donc $\ln a=2\ln(\sqrt a)$, d'où $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln a$.
Simplifications
- $\ln 8=\ln(2^3)=3\ln 2$.
- $\ln\left(\frac14\right)=-\ln 4=-2\ln 2$.
- $\ln 12-\ln 3=\ln\left(\frac{12}{3}\right)=\ln 4=2\ln 2$.
- $\ln(\sqrt e)=\frac12\ln e=\frac12$.
- $\ln 18+\ln 2-2\ln 3=\ln(36)-\ln 9=\ln 4=2\ln 2$.
Exprimer un logarithme en fonction de ln 2 et ln 3
- Décomposer le nombre (ou le numérateur et le dénominateur) en produit de puissances de $2$ et de $3$.
- Appliquer $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.
Exemple : $\ln\left(\frac{72}{16}\right)=\ln(2^3\times3^2)-\ln(2^4)=3\ln2+2\ln3-4\ln2=2\ln3-\ln2$.
Ce qui est faux
- $\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ en général. Par exemple $\ln(1+1)=\ln 2\approx0{,}69$ alors que $\ln1+\ln1=0$.
- $(\ln a)^2\neq\ln(a^2)$ : pour $a=e$, $(\ln e)^2=1$ et $\ln(e^2)=2$.
- $\ln(x^2)=2\ln x$ seulement si $x>0$. Pour tout réel $x\neq0$, on a $\ln(x^2)=2\ln|x|$.
3.Dérivée, variations, signe et convexité
Dérivée de ln
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x>0$ : $$\ln'(x)=\frac1x.$$ En particulier, $\ln$ est continue sur $]0\,;+\infty[$.
Preuve (dérivabilité admise)
On admet que $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour tout $x>0$, on pose $f(x)=e^{\ln x}$. On a $f(x)=x$, donc $f'(x)=1$.
Par ailleurs, $f=\exp\circ\ln$, et d'après la formule de dérivation d'une composée : $$f'(x)=\ln'(x)\times e^{\ln x}=\ln'(x)\times x.$$ Ainsi $x\,\ln'(x)=1$, et comme $x\neq0$ : $\ln'(x)=\dfrac1x$.
Variations et signe
Pour tout $x>0$, $\frac1x>0$ : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
| $x$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\ln'(x)=\frac1x$ | $+$ | $+$ | |||
| $\ln x$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Comme $\ln 1=0$ :
- $\ln x<0$ pour $0<x<1$ ;
- $\ln x=0$ pour $x=1$ ;
- $\ln x>0$ pour $x>1$.
Les limites du tableau sont démontrées dans la section suivante.
Concavité et tangente en 1
Pour tout $x>0$, $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ : la fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$. Sa courbe est donc en dessous de chacune de ses tangentes.
La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=\ln'(1)(x-1)+\ln1$, soit $y=x-1$. On en déduit l'inégalité, valable pour tout $x>0$ : $$\ln x\leqslant x-1.$$
Dériver des fonctions contenant ln
- $f(x)=x\ln x-x$ sur $]0\,;+\infty[$ : produit et somme, $f'(x)=1\times\ln x+x\times\frac1x-1=\ln x$.
- $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : quotient, $$g'(x)=\frac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ Le signe de $g'(x)$ est celui de $1-\ln x$. Or $1-\ln x>0\iff\ln x<1\iff x<e$. Donc $g$ est croissante sur $]0\,;e]$ et décroissante sur $[e\,;+\infty[$, avec un maximum $g(e)=\frac1e$.
Étudier le signe d'une expression contenant ln x
- Isoler $\ln x$ : par exemple $1-\ln x>0\iff\ln x<1$.
- Écrire le nombre de comparaison sous forme de logarithme : $1=\ln e$, $0=\ln 1$, $k=\ln(e^k)$.
- Utiliser la stricte croissance de $\ln$ : $\ln x<\ln(e^k)\iff x<e^k$.
- Croiser avec le domaine $x>0$ et conclure dans un tableau de signes.
4.Limites et croissances comparées
Limites aux bornes
$$\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty.$$ L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.
Preuve
En $+\infty$. Soit $M$ un réel. Pour $x>e^M$, la stricte croissance de $\ln$ donne $\ln x>\ln(e^M)=M$. Ainsi, pour tout réel $M$, $\ln x>M$ dès que $x$ est assez grand : $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
En $0$. Pour $x>0$, on pose $X=\frac1x$. Alors $\ln x=-\ln X$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, donc $\ln X\to+\infty$ et, par composition, $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.
Croissances comparées
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}x\ln x=0.$$ Plus généralement, pour tout entier $n\geqslant1$ : $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0.$$ En $+\infty$, toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$.
Preuve
Limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+\infty$. On pose $X=\ln x$, donc $x=e^X$ et $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{e^X}$. Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$. Or $\lim_{X\to+\infty}\frac{e^X}{X}=+\infty$, donc $\lim_{X\to+\infty}\frac{X}{e^X}=0$. Par composition, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$.
Limite de $x\ln x$ en $0$ (démonstration exigible). Pour $x>0$, on pose $X=\frac1x$. Alors $$x\ln x=\frac1X\ln\left(\frac1X\right)=-\frac{\ln X}{X}.$$ Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, et $\frac{\ln X}{X}\to0$ d'après le point précédent. Par composition, $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$.
Cas $n\geqslant2$. $\dfrac{\ln x}{x^n}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac1{x^{n-1}}$ tend vers $0\times0=0$ en $+\infty$. De même $x^n\ln x=x^{n-1}\times x\ln x$ tend vers $0\times0=0$ en $0^+$.
Limite liée au nombre dérivé en 1
$$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1.$$ En effet, $\dfrac{\ln(1+h)}{h}=\dfrac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}$ est le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+h$. Il tend vers $\ln'(1)=1$.
Lever des formes indéterminées
- $\lim_{x\to+\infty}(\ln x-x)$ : forme $\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : $\ln x-x=x\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)$. Comme $\frac{\ln x}{x}\to0$, la parenthèse tend vers $-1$, et $x\to+\infty$. Donc la limite est $-\infty$.
- $\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0$ par croissances comparées ($n=2$).
- $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}$ : pour $x>0$, $\ln x=2\ln(\sqrt x)$, donc $\frac{\ln x}{\sqrt x}=2\,\frac{\ln(\sqrt x)}{\sqrt x}$. Avec $X=\sqrt x\to+\infty$, $\frac{\ln X}{X}\to0$, donc la limite est $0$.
- $\lim_{x\to0^+}\left(\frac1x+\ln x\right)$ : forme $+\infty-\infty$. On écrit $\frac1x+\ln x=\frac1x\left(1+x\ln x\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $\frac1x\to+\infty$, donc la limite est $+\infty$.
Calculer une limite avec ln
- Tenter les opérations sur les limites. Si aucune forme indéterminée n'apparaît, conclure.
- En cas de forme indéterminée, repérer le terme dominant ($x^n$ l'emporte sur $\ln x$ en $+\infty$) et factoriser par lui.
- Faire apparaître une limite de référence : $\frac{\ln x}{x}$, $x\ln x$, $\frac{\ln(1+h)}{h}$.
- Si nécessaire, effectuer un changement de variable $X=\dots$ en précisant vers quoi tend $X$.
5.Équations et inéquations
Comparaison de logarithmes
Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $$\ln a=\ln b\iff a=b\qquad\text{et}\qquad\ln a<\ln b\iff a<b.$$ Pour tout réel $a>0$ et tout réel $k$ : $$\ln a=k\iff a=e^k\qquad\text{et}\qquad\ln a<k\iff a<e^k.$$ Pour tout réel $x$ et tout réel $m>0$ : $e^x=m\iff x=\ln m$ et $e^x<m\iff x<\ln m$.
Ces équivalences viennent de la stricte croissance de $\ln$ et de $\exp$.
Résoudre une équation ou une inéquation avec ln
- Domaine : écrire les conditions pour que chaque logarithme existe (argument strictement positif) et en déduire l'ensemble $D$ où l'on travaille.
- Regrouper les logarithmes en un seul, avec $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ ou $\ln a-\ln b=\ln\frac ab$.
- Se ramener à $\ln A=\ln B$ (ou $\ln A<\ln B$), puis à $A=B$ (ou $A<B$). Un nombre $k$ s'écrit $\ln(e^k)$.
- Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue.
- Ne garder que les solutions qui appartiennent à $D$.
Équation simple
Résoudre $\ln(2x-1)=\ln(x+3)$.
Domaine : $2x-1>0\iff x>\frac12$ et $x+3>0\iff x>-3$. Donc $D=\left]\frac12\,;+\infty\right[$.
Sur $D$ : $\ln(2x-1)=\ln(x+3)\iff2x-1=x+3\iff x=4$.
Comme $4\in D$, l'ensemble des solutions est $\mathcal S=\{4\}$.
Équation avec une somme de logarithmes
Résoudre $\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$.
Domaine : $x>0$ et $x>2$, donc $D=]2\,;+\infty[$.
Sur $D$ : $\ln\big(x(x-2)\big)=\ln3\iff x^2-2x=3\iff x^2-2x-3=0$.
Le discriminant vaut $\Delta=4+12=16$, d'où $x=\frac{2+4}{2}=3$ ou $x=\frac{2-4}2=-1$.
Seul $3$ appartient à $D$ : $\mathcal S=\{3\}$. La valeur $-1$ est à rejeter, car $\ln(-1)$ n'existe pas.
Inéquation
Résoudre $\ln(3-x)\leqslant0$.
Domaine : $3-x>0\iff x<3$, donc $D=]-\infty\,;3[$.
Sur $D$ : $\ln(3-x)\leqslant\ln1\iff3-x\leqslant1\iff x\geqslant2$.
En croisant avec $D$ : $\mathcal S=[2\,;3[$.
Inéquation avec une inconnue en exposant
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}8^n<0{,}01$.
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et les deux membres sont strictement positifs : $$0{,}8^n<0{,}01\iff\ln(0{,}8^n)<\ln(0{,}01)\iff n\ln(0{,}8)<\ln(0{,}01).$$ Or $0{,}8<1$, donc $\ln(0{,}8)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens : $$n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}\approx20{,}6.$$ Le plus petit entier qui convient est $n=21$. Vérification : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}0092$.
Équation avec exp
Résoudre $e^{2x}-3e^x+2=0$.
On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation devient $X^2-3X+2=0$, de solutions $X=1$ et $X=2$.
- $e^x=1\iff x=\ln1=0$ ;
- $e^x=2\iff x=\ln2$.
$\mathcal S=\{0\,;\ln2\}$.
Regrouper change le domaine
Les expressions $\ln x+\ln(x-2)$ et $\ln\big(x(x-2)\big)$ n'ont pas le même domaine : la première exige $x>2$, la seconde seulement $x(x-2)>0$, c'est-à-dire $x<0$ ou $x>2$. C'est pourquoi le domaine se détermine avant toute transformation, sur l'équation de départ.
6.Fonction ln(u)
Ensemble de définition
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$. La fonction $\ln(u) : x\mapsto\ln\big(u(x)\big)$ est définie pour les $x$ de $I$ tels que $u(x)>0$.
Dérivée de ln(u)
Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $$\big(\ln(u)\big)'=\frac{u'}{u}.$$ C'est la formule $(g\circ u)'=u'\times g'\circ u$ avec $g=\ln$ et $g'(X)=\frac1X$.
Variations
Comme $u>0$ sur $I$, $\frac{u'}{u}$ a le même signe que $u'$. Les fonctions $u$ et $\ln(u)$ ont donc les mêmes variations sur $I$.
Étude de f(x) = ln(x² + 1)
Pour tout réel $x$, $x^2+1\geqslant1>0$ : $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$, donc $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$, du signe de $x$.
Limites : $\lim_{x\to\pm\infty}(x^2+1)=+\infty$ et $\lim_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$, donc par composition $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Le minimum de $f$ est $f(0)=\ln1=0$.
Étude de g(x) = ln(2x − 4)
$g$ est définie pour $2x-4>0$, soit sur $]2\,;+\infty[$.
$g'(x)=\dfrac{2}{2x-4}=\dfrac1{x-2}>0$ sur $]2\,;+\infty[$ : $g$ est strictement croissante.
Limites : quand $x\to2^+$, $2x-4\to0^+$, donc $g(x)\to-\infty$ (asymptote verticale $x=2$). Quand $x\to+\infty$, $2x-4\to+\infty$, donc $g(x)\to+\infty$.
$g(x)=0\iff2x-4=1\iff x=\frac52$.
Étudier une fonction ln(u)
- Résoudre $u(x)>0$ pour obtenir l'ensemble de définition.
- Calculer $u'$ puis $\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$.
- Le signe de la dérivée est celui de $u'$ : étudier le signe de $u'$ seulement.
- Limites aux bornes par composition : chercher la limite $L$ de $u(x)$, puis la limite de $\ln X$ quand $X\to L$ ($-\infty$ si $L=0^+$, $+\infty$ si $L=+\infty$, $\ln L$ si $L$ est un réel strictement positif).
- Dresser le tableau de variations.
Fonction ln|u|
Si $u$ ne s'annule pas sur $I$ mais est négative, on peut étudier $\ln|u|=\ln(-u)$, dont la dérivée est encore $\frac{u'}{u}$. Ce résultat n'est pas exigible en Terminale ; il sert surtout pour les primitives en études supérieures.