Fiche résumé : Fonction logarithme népérien (Terminale)

La fonction logarithme népérien permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x=5$ ou $0{,}8^n<0{,}01$. Elle transforme les produits en sommes, et on la retrouve dans les études de fonctions, les suites et les modèles de croissance ou de décroissance.

Définition : pour $x>0$ et $y\in\mathbb{R}$, $y=\ln x\iff e^y=x$. $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.
$e^{\ln x}=x$ pour $x>0$ ; $\ln(e^x)=x$ pour tout réel $x$ ; $\ln1=0$ ; $\ln e=1$.
Algèbre ($a,b>0$, $n\in\mathbb{Z}$) : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln\frac1a=-\ln a$ ; $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ ; $\ln(a^n)=n\ln a$ ; $\ln\sqrt a=\frac12\ln a$.
Dérivée : $\ln'(x)=\frac1x$. $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et concave.
Signe : $\ln x<0$ sur $]0\,;1[$, $\ln1=0$, $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$.
Tangente en 1 : $y=x-1$, et $\ln x\leqslant x-1$ pour tout $x>0$.
Limites : $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ ; $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$.
Croissances comparées ($n\geqslant1$) : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$ ; $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$.
$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$.
Équations, inéquations ($a,b>0$) : $\ln a=\ln b\iff a=b$ ; $\ln a<\ln b\iff a<b$ ; $\ln a=k\iff a=e^k$ ; $e^x=m\iff x=\ln m$ ($m>0$).
Méthode : domaine d'abord, regrouper les ln, se ramener à $\ln A=\ln B$, résoudre, garder les solutions du domaine.
Si $0<q<1$, alors $\ln q<0$ : diviser par $\ln q$ change le sens d'une inégalité.
Fonction $\ln(u)$ : définie là où $u>0$ ; $\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$ ; même sens de variation que $u$.
Valeurs utiles : $e\approx2{,}718$ ; $\ln2\approx0{,}693$.