QCM : Fonction logarithme népérien (Terminale)
La fonction logarithme népérien permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x=5$ ou $0{,}8^n<0{,}01$. Elle transforme les produits en sommes, et on la retrouve dans les études de fonctions, les suites et les modèles de croissance ou de décroissance.
Que vaut $e^{3\ln 2}$ ?
On a $3\ln2=\ln(2^3)=\ln8$, donc $e^{3\ln2}=e^{\ln8}=8$. On peut aussi écrire $e^{3\ln2}=\left(e^{\ln2}\right)^3=2^3$. Le piège principal est de calculer $3\times2=6$, c'est-à-dire de confondre $3\ln2$ avec $\ln(3\times2)$. La réponse $9$ vient d'une inversion de la puissance et de la base ($3^2$ au lieu de $2^3$). La réponse $\ln8$ oublie que $e^{\ln a}=a$.
Simplifier $\ln 18-2\ln 3$.
On a $2\ln3=\ln(3^2)=\ln9$, donc $\ln18-2\ln3=\ln18-\ln9=\ln\frac{18}{9}=\ln2$. Le piège principal est d'écrire $2\ln3=\ln6$, ce qui donne $\ln\frac{18}{6}=\ln3$. La réponse $\ln12$ revient à croire que $\ln a-\ln b=\ln(a-b)$, avec $18-6=12$. La réponse $\frac{\ln18}{\ln9}$ confond la différence de deux logarithmes avec leur quotient.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f : x\mapsto\ln(4-x^2)$ ?
La fonction $f$ est définie lorsque $4-x^2>0$, soit $(2-x)(2+x)>0$. Un trinôme est du signe de son coefficient dominant, ici $-1$, à l'extérieur des racines. Il est donc strictement positif entre les racines $-2$ et $2$, ce qui donne $]-2\,;2[$. La réponse $[-2\,;2]$ oublie que $\ln0$ n'existe pas : l'inégalité doit être stricte. La réunion $]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ vient d'une erreur sur le signe du trinôme. La réponse $]-\infty\,;2[$ revient à résoudre $4-x^2>0$ comme $2-x>0$, en extrayant mal une racine.
Soit $f(x)=\ln(3x^2+1)$ pour tout réel $x$. Que vaut $f'(x)$ ?
La fonction $u : x\mapsto3x^2+1$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$. On a donc $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ avec $u'(x)=6x$, ce qui donne $f'(x)=\frac{6x}{3x^2+1}$. Le piège principal est d'oublier la dérivée de la fonction intérieure et d'écrire $\frac1u$. La réponse $\frac1{6x}$ applique $\frac1x$ à $u'$ au lieu de $u$. La réponse $6x\ln(3x^2+1)$ imite à tort la dérivée de $e^u$, qui est $u'e^u$.
Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}$ ?
Il n'y a pas de forme indéterminée. Quand $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ et $\frac1x\to+\infty$. Le produit $\ln x\times\frac1x$ tend donc vers $-\infty$. Le piège principal est d'appliquer les croissances comparées par réflexe et de répondre $0$. Or la limite de référence est $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$, qui concerne un produit et non un quotient, et $\frac{\ln x}{x}\to0$ n'est vraie qu'en $+\infty$. La réponse $1$ confond avec $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$. La réponse $+\infty$ vient d'une erreur de signe : il faut se rappeler que $\ln x<0$ pour $0<x<1$.
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $\ln x+\ln(x+1)=\ln 6$ ?
On détermine d'abord le domaine : $x>0$ et $x>-1$, donc $D=]0\,;+\infty[$. Sur $D$, l'équation s'écrit $\ln\big(x(x+1)\big)=\ln6$, ce qui équivaut à $x^2+x-6=0$. Le discriminant vaut $\Delta=1+24=25$, d'où les racines $x=2$ et $x=-3$. Seul $2$ appartient à $D$, donc $\mathcal S=\{2\}$. Le piège principal est d'oublier le domaine et de garder $-3$. La réponse $\frac52$ vient de l'erreur $\ln x+\ln(x+1)=\ln(2x+1)$, qui transforme la somme des logarithmes en logarithme de la somme.
Quel est le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}9^n<0{,}5$ ?
Les deux membres sont strictement positifs et $\ln$ est strictement croissante, donc l'inégalité équivaut à $n\ln(0{,}9)<\ln(0{,}5)$. Comme $0{,}9<1$, on a $\ln(0{,}9)<0$. En divisant par ce nombre négatif, on change le sens : $n>\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)}\approx6{,}58$. Le plus petit entier qui convient est $7$. On vérifie : $0{,}9^6\approx0{,}531$ et $0{,}9^7\approx0{,}478$. Le piège principal est d'oublier le changement de sens, ce qui conduit à $n<6{,}58$. La réponse $6$ vient d'un arrondi par défaut. La réponse $6{,}58$ n'est pas un entier.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(2x-1)<0$ ?
On détermine d'abord le domaine : $2x-1>0$, soit $x>\frac12$. Sur ce domaine, $\ln(2x-1)<\ln1$ équivaut à $2x-1<1$, soit $x<1$. En croisant avec le domaine, on obtient $\left]\frac12\,;1\right[$. La réponse $]-\infty\,;1[$ oublie le domaine. La réponse $\left]-\infty\,;\frac12\right[$ vient de la confusion entre $\ln A<0$ et $A<0$ : c'est $\ln1$ qui vaut $0$, pas $\ln0$. La réponse $\left]\frac12\,;+\infty\right[$ est seulement le domaine.
On considère $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Quelle affirmation est vraie ?
Par la formule du quotient, $g'(x)=\frac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$. Cette dérivée est du signe de $1-\ln x$, positif pour $x<e$ et négatif pour $x>e$. La fonction $g$ admet donc un maximum en $e$, égal à $g(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e$. La réponse « en $1$, égal à $0$ » confond l'annulation de $\ln x$ avec celle de $1-\ln x$. La réponse « égal à $1$ » oublie de diviser $\ln e$ par $e$. La réponse « strictement croissante » vient d'une erreur de signe dans la dérivée.
Quelle inégalité est vraie pour tout réel $x>0$ ?
Pour tout $x>0$, $\ln''(x)=-\frac1{x^2}<0$ : la fonction $\ln$ est concave, donc sa courbe est en dessous de ses tangentes. La tangente en $1$ a pour équation $y=x-1$, d'où $\ln x\leqslant x-1$. Le piège principal est d'inverser l'inégalité en confondant concave et convexe. L'inégalité stricte est fausse en $x=1$, où les deux membres valent $0$. L'inégalité $\ln x\leqslant\frac1x$ est fausse en $x=e$, car $1>\frac1e$.