Erreurs fréquentes : Fonctions sinus et cosinus (Terminale)

Écrire $(\sin x)' = -\cos x$ ou $(\cos x)' = \sin x$.

Le signe moins est sur la dérivée du cosinus : $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$. Contrôle rapide : en $0$, sinus est croissant, donc $\sin'(0) = \cos 0 = 1 > 0$ ; cosinus a un maximum en $0$, donc $\cos'(0) = 0 = -\sin 0$.

Dériver $\cos(3x)$ en $-\sin(3x)$, en oubliant la dérivée de la fonction intérieure.

$(\cos u)' = -u'\sin u$, donc $(\cos(3x))' = -3\sin(3x)$. De même $(\sin(x^2))' = 2x\cos(x^2)$.

Donner une seule famille de solutions : $\cos x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Il y a deux points du cercle d'abscisse $\frac{1}{2}$ : $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Pour $\sin x = \sin\alpha$, écrire la seconde famille $-\alpha + 2k\pi$ (confusion avec le cosinus).

Pour le sinus, la symétrie est par rapport à l'axe des ordonnées : la seconde famille est $\pi - \alpha + 2k\pi$.

Après $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, écrire $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ et perdre la moitié des solutions.

On divise tout le membre par $2$ : $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$. Sur un intervalle de longueur $2\pi$, l'équation $\cos(2x) = a$ a en général quatre solutions.

Calculer $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$ en écrivant que la limite vaut $1$.

Le résultat $\frac{\sin X}{X} \to 1$ exige le même argument au numérateur et au dénominateur : $\frac{\sin(3x)}{x} = 3\times\frac{\sin(3x)}{3x} \to 3$.

Écrire $\sin(a+b) = \sin a + \sin b$ ou $\sin(2x) = 2\sin x$.

Le sinus n'est pas linéaire. Par exemple $\sin\left(2\times\frac{\pi}{2}\right) = \sin\pi = 0$ alors que $2\sin\frac{\pi}{2} = 2$. La bonne formule est $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.

Travailler en degrés, à la main ou à la calculatrice, et obtenir par exemple $\sin(30) = 0{,}5$.

En analyse, $x$ est en radians : $\sin(30) \approx -0{,}988$ et c'est $\sin\frac{\pi}{6}$ qui vaut $\frac{1}{2}$. Régler la calculatrice en mode radian.