Fiche résumé : Fonctions sinus et cosinus (Terminale)

Les fonctions sinus et cosinus décrivent tous les phénomènes périodiques : oscillations, ondes, mouvements circulaires, signaux. Ce chapitre donne les outils pour les dériver, les étudier, tracer leurs courbes et résoudre les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$.

Cercle trigonométrique : $M(\cos x\,;\sin x)$, $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
Valeurs remarquables : $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ ; $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Angles associés : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(\pi + x) = -\cos x$, $\sin(\pi+x) = -\sin x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x$.
Parité : $\cos$ paire, $\cos(-x) = \cos x$ ; $\sin$ impaire, $\sin(-x) = -\sin x$.
Périodicité : $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques ; $\cos(ax)$ et $\sin(ax)$ ($a > 0$) sont $\frac{2\pi}{a}$-périodiques.
Dérivées : $\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$ ; $(\sin u)' = u'\cos u$, $(\cos u)' = -u'\sin u$ ; $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.
Limite : $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ (taux d'accroissement de $\sin$ en $0$) ; $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x} = 0$.
Variations sur $[0\,;2\pi]$ : $\sin$ croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, décroît de $1$ à $-1$ sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right]$, croît de $-1$ à $0$ sur $\left[\frac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$. $\cos$ décroît de $1$ à $-1$ sur $[0\,;\pi]$, croît de $-1$ à $1$ sur $[\pi\,;2\pi]$.
Courbes : sinusoïdes ; tangente $y = x$ en $0$ pour sinus ; courbe de $\cos$ = courbe de $\sin$ translatée de $-\frac{\pi}{2}\vec{\imath}$.
Inégalité : $\sin x \leqslant x$ pour $x \geqslant 0$.
Équations (si $-1 \leqslant a \leqslant 1$, sinon aucune solution) :
- $\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$ ;
- $\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Inéquations : résoudre l'équation, placer les points sur le cercle, lire l'arc du bon côté de la droite $X = a$ ou $Y = a$.
Étude de fonction : parité et période pour réduire l'intervalle, dérivée factorisée, signe des facteurs via le cercle, tableau, symétries et translations.