Exercices corrigés : Fonctions sinus et cosinus (Terminale)

a) On retire un multiple de $2\pi$ : $\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\times 2\pi$. Par $2\pi$-périodicité, puis par parité de cosinus et imparité de sinus : $$\cos\frac{23\pi}{6} = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{23\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}.$$ Contrôle : $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

b) $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$. Donc : $$\cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Contrôle : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

c) $2025\pi = \pi + 2024\pi = \pi + 1012\times 2\pi$, donc $\cos(2025\pi) = \cos\pi = -1$.

Ensuite $\frac{2025\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{2024\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 1012\pi = \frac{\pi}{2} + 506\times 2\pi$, donc $\sin\frac{2025\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1$.

• $f_1'(x) = 2\times(-\sin x) - 5\cos x = -2\sin x - 5\cos x$.
• $f_2$ est de la forme $\sin(ax+b)$ avec $a = 3$ : $f_2'(x) = 3\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.
• $f_3 = uv$ avec $u(x) = x^2$, $v(x) = \sin x$ : $f_3'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x = x(2\sin x + x\cos x)$.
• $f_4 = \frac{u}{v}$ avec $u(x) = \cos x$, $u'(x) = -\sin x$, $v(x) = x^2+1$, $v'(x) = 2x$, et $v(x) \geqslant 1 > 0$ : $$f_4'(x) = \frac{-\sin x\,(x^2+1) - 2x\cos x}{(x^2+1)^2} = -\frac{(x^2+1)\sin x + 2x\cos x}{(x^2+1)^2}.$$
• $f_5 = u^3$ avec $u = \cos$, $u' = -\sin$ : $f_5'(x) = 3\times(-\sin x)\times\cos^2 x = -3\sin x\cos^2 x$.

1. $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout réel $x$, $f(-x) = \cos(-4x) = \cos(4x) = f(x)$ car cosinus est paire : $f$ est paire.

Pour tout réel $x$, $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x) = f(x)$ : $f$ est $\frac{\pi}{2}$-périodique.

$f$ étant $T$-périodique avec $T = \frac{\pi}{2}$ et paire, il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\frac{T}{2}\right] = \left[0\,;\frac{\pi}{4}\right]$, puis de compléter la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et par translations de vecteurs $k\frac{\pi}{2}\vec{\imath}$.

2. Pour tout réel $x$ : $g(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)\cos x = -g(x)$ : $g$ est impaire.

$g(x+\pi) = \sin(x+\pi)\cos(x+\pi) = (-\sin x)(-\cos x) = \sin x\cos x = g(x)$ : $g$ est $\pi$-périodique.

3. $\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout $x \neq 0$ : $$h(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = h(x).$$ $h$ est paire.

On a $h\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$ et $h\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \frac{\sin\frac{5\pi}{2}}{5\pi/2} = \frac{1}{5\pi/2} = \frac{2}{5\pi}$. Ces deux valeurs sont différentes, donc l'égalité $h(x+2\pi) = h(x)$ est fausse pour $x = \frac{\pi}{2}$ : $h$ n'est pas $2\pi$-périodique.

a) $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, donc : $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \iff 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \text{ ou } \ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Première famille : $2x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, soit $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Deuxième famille : $2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, soit $x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$.

Dans $[0\,;2\pi[$ : $k = 0$ et $k = 1$ conviennent dans chaque famille ($k = 2$ donne une valeur supérieure à $2\pi$, $k = -1$ une valeur négative). On obtient $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$.

Vérification pour $x = \frac{7\pi}{12}$ : $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ et $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. $$S = \left\{\frac{\pi}{4}\,;\frac{7\pi}{12}\,;\frac{5\pi}{4}\,;\frac{19\pi}{12}\right\}.$$

b) $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, donc $\cos(3x) = 0 \iff 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ou $3x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Comme $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + (2k-1)\pi$, les deux familles réunies donnent $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (ce sont les deux points $(0\,;1)$ et $(0\,;-1)$ du cercle). Donc $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.

Dans $[0\,;\pi]$ : $k = 0, 1, 2$ donnent $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$ ; $k = 3$ donne $\frac{7\pi}{6} > \pi$ et $k = -1$ donne $-\frac{\pi}{6} < 0$. $$S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{\pi}{2}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}.$$

a) $2\sin x - \sqrt{2} \geqslant 0 \iff \sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Dans $[0\,;2\pi[$, l'équation $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{4}$ et $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Les points du cercle d'ordonnée au moins $\frac{\sqrt{2}}{2}$ forment l'arc supérieur entre ces deux points, qui contient le point associé à $\frac{\pi}{2}$. Les bornes sont incluses (inégalité large). $$S = \left[\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right].$$

b) $2\cos x < \sqrt{3} \iff \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Dans $[0\,;2\pi[$, l'équation $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Les points d'abscisse strictement inférieure à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ forment l'arc de gauche, qui contient le point associé à $\pi$. En parcourant le cercle dans le sens direct de $\frac{\pi}{6}$ à $\frac{11\pi}{6}$ : $$S = \left]\frac{\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right[.$$ Contrôle : cosinus décroît de $1$ à $-1$ sur $[0\,;\pi]$ et passe par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\frac{\pi}{6}$ ; il croît de $-1$ à $1$ sur $[\pi\,;2\pi]$ et repasse par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\frac{11\pi}{6}$.

c) Dans $]-\pi\,;\pi]$, l'équation a pour solutions $-\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$. L'arc de gauche correspond maintenant aux réels de $\left]\frac{\pi}{6}\,;\pi\right]$ et à ceux de $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right[$. $$S = \left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{6}\,;\pi\right].$$

1. Pour tout réel $x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Donc : $$2\sin^2 x + \cos x - 1 = 2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 = -2\cos^2 x + \cos x + 1.$$ Ainsi $(E) \iff -2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \iff 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ (en multipliant par $-1$).

2. $\Delta = (-1)^2 - 4\times 2\times(-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Les racines sont $X_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ et $X_2 = \frac{1+3}{4} = 1$.

3. En posant $X = \cos x$, $(E) \iff \cos x = -\frac{1}{2}$ ou $\cos x = 1$.

• $\cos x = 1 \iff x = 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $x = 0$.
• $\cos x = -\frac{1}{2} = \cos\frac{2\pi}{3} \iff x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $x = \pm\frac{2\pi}{3}$.

Vérification pour $x = \frac{2\pi}{3}$ : $2\times\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. $$S = \left\{-\frac{2\pi}{3}\,;0\,;\frac{2\pi}{3}\right\}.$$

1. $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$, $g(-x) = \cos(-x) - 1 + \frac{(-x)^2}{2} = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} = g(x)$. $g$ est paire.

2. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = -\sin x + x = x - \sin x$. D'après le cours, $\sin x \leqslant x$ pour tout $x \geqslant 0$. Donc $g'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$.

3. $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc pour tout $x \geqslant 0$, $g(x) \geqslant g(0) = 1 - 1 + 0 = 0$.

Si $x < 0$, alors $-x > 0$ et, par parité, $g(x) = g(-x) \geqslant 0$.

Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$.

4. Avec $x = 0{,}1$ : $\cos(0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}01}{2} = 0{,}995$.

5. Pour tout réel $x$, $\cos x \leqslant 1$, donc $1 - \cos x \geqslant 0$ ; l'inégalité démontrée s'écrit $1 - \cos x \leqslant \frac{x^2}{2}$. Ainsi $0 \leqslant 1 - \cos x \leqslant \frac{x^2}{2}$ et, pour $x \neq 0$, en divisant par $|x| > 0$ : $$\left|\frac{1-\cos x}{x}\right| = \frac{1 - \cos x}{|x|} \leqslant \frac{x^2}{2|x|} = \frac{|x|}{2}.$$ Donc $-\frac{|x|}{2} \leqslant \frac{\cos x - 1}{x} \leqslant \frac{|x|}{2}$. Les deux bornes tendent vers $0$ quand $x \to 0$ ; par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x} = 0$, ce qui est conforme au cours.

1. Pour $x \in\, ]-\pi\,;\pi[$, $\cos x > -1$, donc $1 + \cos x > 0$. Pour $x \neq 0$ dans cet intervalle : $$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2}\times\frac{1}{1+\cos x} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\frac{1}{1+\cos x}.$$

2. Quand $x \to 0$ : $\frac{\sin x}{x} \to 1$, donc $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 1$ ; par continuité du cosinus en $0$, $1 + \cos x \to 2$, donc $\frac{1}{1+\cos x} \to \frac{1}{2}$. Par produit : $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}.$$

3. Pour $x = 0{,}1$ : $1 - \frac{0{,}1^2}{2} = 1 - 0{,}005 = 0{,}995$. La calculatrice donne $\cos(0{,}1) \approx 0{,}995\,004$. L'écart est d'environ $4\times 10^{-6}$ : l'approximation est très bonne au voisinage de $0$. On remarque aussi que $0{,}995 \leqslant \cos(0{,}1)$, ce qui est cohérent avec l'inégalité $\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$.

Partie A

1. Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \sin(-x)(1 + \cos(-x)) = -\sin x\,(1+\cos x) = -f(x)$, donc $f$ est impaire. $f(x + 2\pi) = \sin(x+2\pi)(1 + \cos(x+2\pi)) = f(x)$, donc $f$ est $2\pi$-périodique.

Par périodicité, il suffit d'étudier $f$ sur $[-\pi\,;\pi]$, intervalle de longueur $2\pi$ ; par imparité, l'étude sur $[0\,;\pi]$ suffit : on complète par symétrie par rapport à l'origine, puis par translations de vecteurs $2k\pi\vec{\imath}$.

2. a) $f = uv$ avec $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$, $v(x) = 1 + \cos x$, $v'(x) = -\sin x$ : $$f'(x) = \cos x\,(1+\cos x) - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1.$$

b) $(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 2\cos^2 x + 2\cos x - \cos x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = f'(x)$.

c) Sur $[0\,;\pi]$ : $\cos x + 1 \geqslant 0$, et $\cos x + 1 = 0 \iff x = \pi$.

$2\cos x - 1 > 0 \iff \cos x > \frac{1}{2}$. Le cosinus est strictement décroissant sur $[0\,;\pi]$ et $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ : donc $2\cos x - 1 > 0$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{3}\right[$, nul en $\frac{\pi}{3}$, $< 0$ sur $\left]\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]$.

Valeurs : $f(0) = 0$ ; $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ ; $f(\pi) = 0$.

$f$ est croissante sur $\left[0\,;\frac{\pi}{3}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right]$.

3. Sur $[0\,;\pi]$, $f$ prend ses valeurs dans $\left[0\,;\frac{3\sqrt{3}}{4}\right]$. Par imparité, sur $[-\pi\,;0]$ elle prend ses valeurs dans $\left[-\frac{3\sqrt{3}}{4}\,;0\right]$, avec $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Par $2\pi$-périodicité, les valeurs prises sur $\mathbb{R}$ sont celles prises sur $[-\pi\,;\pi]$.

Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, le minimum est $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Partie B

4. $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2\times 1^2 + 1 - 1 = 2$. $T : y = 2x$.

5. Pour $x \neq 0$, $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sin x}{x}\times(1 + \cos x)$. Quand $x \to 0$, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ et $1 + \cos x \to 2$. Donc $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = 2$.

Comme $f(0) = 0$, $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ est le taux d'accroissement de $f$ en $0$ : sa limite est $f'(0) = 2$, le coefficient directeur de $T$. Les deux calculs concordent.

6. $f(x) = 0 \iff \sin x = 0$ ou $1 + \cos x = 0$.

• Dans $[-\pi\,;\pi]$, $\sin x = 0 \iff x \in \{-\pi\,;0\,;\pi\}$.
• Dans $[-\pi\,;\pi]$, $\cos x = -1 \iff x \in \{-\pi\,;\pi\}$.

$$S = \{-\pi\,;0\,;\pi\}.$$