QCM : Fonctions sinus et cosinus (Terminale)
Les fonctions sinus et cosinus décrivent tous les phénomènes périodiques : oscillations, ondes, mouvements circulaires, signaux. Ce chapitre donne les outils pour les dériver, les étudier, tracer leurs courbes et résoudre les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$.
Quelle est la valeur exacte de $\sin\frac{7\pi}{6}$ ?
On écrit $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$. Or $\sin(\pi + x) = -\sin x$, donc $\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$. Le piège principal est de confondre avec $\sin(\pi - x) = \sin x$, ce qui donne $\frac{1}{2}$. Les réponses avec $\sqrt{3}$ viennent d'une confusion entre $\sin\frac{\pi}{6}$ et $\cos\frac{\pi}{6}$.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(3x+1)$. Pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :
On applique $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ avec $a = 3$ et $b = 1$ : $f'(x) = -3\sin(3x+1)$. L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur $3$, dérivée de la fonction intérieure, ce qui donne $-\sin(3x+1)$. La réponse $3\sin(3x+1)$ oublie le signe moins de $\cos' = -\sin$.
Quelle est la plus petite période strictement positive de la fonction $x \mapsto \sin(4x)$ ?
Pour $a > 0$, $x \mapsto \sin(ax)$ est $\frac{2\pi}{a}$-périodique : ici $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. En effet $\sin\left(4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin(4x + 2\pi) = \sin(4x)$. Le piège est de répondre $2\pi$ : la fonction est bien $2\pi$-périodique, mais ce n'est pas la plus petite période. La réponse $8\pi$ vient d'une multiplication par $4$ au lieu d'une division.
Que vaut $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{2x}$ ?
Pour $x \neq 0$, $\frac{\sin(5x)}{2x} = \frac{5}{2}\times\frac{\sin(5x)}{5x}$. Quand $x \to 0$, $X = 5x \to 0$ et $\frac{\sin X}{X} \to 1$, donc la limite vaut $\frac{5}{2}$. Le piège principal est d'appliquer directement $\frac{\sin X}{X} \to 1$ sans avoir le même argument au numérateur et au dénominateur, ce qui donne $1$. La réponse $\frac{2}{5}$ inverse le rapport.
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$ ?
On a $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ et $\pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$. Le piège principal est d'utiliser la seconde famille du cosinus, $-\alpha + 2k\pi$, qui donne $\frac{5\pi}{3}$ ; or $\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. La réponse avec $\frac{\pi}{6}$ confond les valeurs remarquables, celle à une seule valeur oublie la seconde famille.
Combien l'équation $\cos(2x) = 0$ admet-elle de solutions dans $[0\,;2\pi[$ ?
$\cos(2x) = 0 \iff 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ou $2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, soit $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ puis $\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$, donc $4$ solutions. Le piège principal est de ne pas diviser $2k\pi$ par $2$ : on garde $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ et on ne trouve que $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$, soit $2$ solutions.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\cos x$. Que peut-on dire de $f$ ?
$\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$, $f(-x) = (-x)\cos(-x) = -x\cos x = -f(x)$ : $f$ est impaire. Le piège est de retenir seulement que cosinus est paire et de conclure que $f$ est paire, en oubliant le facteur $x$, qui est impair. $f$ n'est pas non plus périodique : par exemple $f(2k\pi) = 2k\pi$ prend des valeurs toutes différentes.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi\,;\pi]$ ?
Dans $]-\pi\,;\pi]$, $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x = -\frac{\pi}{4}$ et $x = \frac{\pi}{4}$. Les points d'abscisse strictement supérieure à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ forment l'arc de droite contenant le point associé à $0$, bornes exclues : $S = \left]-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right[$. La réponse avec crochets fermés ignore que l'inégalité est stricte. $\left]\frac{\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right[$ correspond à $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ (confusion abscisse et ordonnée). La réunion est l'ensemble des solutions de $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ : mauvais côté de la droite.
Sur quel intervalle la fonction cosinus est-elle croissante, dans $[0\,;2\pi]$ ?
$\cos'(x) = -\sin x$. Sur $[\pi\,;2\pi]$, $\sin x \leqslant 0$, donc $\cos'(x) \geqslant 0$ : cosinus croît de $-1$ à $1$. Sur $[0\,;\pi]$, elle décroît de $1$ à $-1$. Le piège principal est d'oublier le signe moins et de croire que cosinus croît là où $\sin x \geqslant 0$, c'est-à-dire sur $[0\,;\pi]$. La réponse $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$ décrit les intervalles de croissance du sinus, et $\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right]$ ceux où le sinus décroît.
Quelle est une équation de la tangente à la courbe de la fonction cosinus au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ ?
La tangente a pour équation $y = \cos'\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \cos\frac{\pi}{2}$. Or $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ et $\cos'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$, d'où $y = -x + \frac{\pi}{2}$. La réponse $y = x - \frac{\pi}{2}$ vient de l'erreur $\cos' = \sin$. La réponse $y = -x$ oublie le terme $-\frac{\pi}{2}$ dans $x - \frac{\pi}{2}$. La réponse $y = 1$ confond avec la tangente horizontale de la courbe de sinus en $\frac{\pi}{2}$.