Fonctions sinus et cosinus
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Les fonctions sinus et cosinus décrivent tous les phénomènes périodiques : oscillations, ondes, mouvements circulaires, signaux. Ce chapitre donne les outils pour les dériver, les étudier, tracer leurs courbes et résoudre les équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$.
Prérequis
- Cercle trigonométrique, radian, enroulement de la droite des réels (classe de 1re)
- Valeurs remarquables de $\cos$ et $\sin$ en $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$
- Dérivation : nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, dérivées usuelles, produit, quotient — Revoir Dérivation
- Dérivée d'une fonction composée, en particulier $x \mapsto g(ax+b)$
- Lien entre signe de la dérivée et variations d'une fonction
À la fin du chapitre, on sait
- Utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver valeurs remarquables et angles associés
- Démontrer et exploiter la parité et la périodicité de $\sin$ et $\cos$
- Connaître les dérivées de $\sin$ et $\cos$ et dériver des fonctions composées comme $\cos(ax+b)$ ou $\sin(u(x))$
- Dresser les tableaux de variations de $\sin$ et $\cos$ sur $[0\,;2\pi]$ et tracer leurs courbes
- Démontrer et utiliser $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
- Résoudre les équations $\cos x = a$, $\sin x = a$ et des inéquations simples sur un intervalle donné
- Étudier une fonction trigonométrique simple en réduisant l'intervalle d'étude
1.Rappels : le cercle trigonométrique
Cosinus et sinus d'un réel
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
À tout réel $x$, on associe le point $M$ du cercle obtenu en enroulant la droite des réels autour du cercle à partir du point $I(1\,;0)$. Les coordonnées de $M$ sont, par définition : $$M(\cos x\,;\sin x).$$ Le réel $x$ est une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{OI},\vec{OM})$.
Propriétés immédiates
Pour tout réel $x$ :
- $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ;
- $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore dans le cercle de rayon $1$) ;
- pour tout entier relatif $k$, $\cos(x+2k\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin x$, car $x$ et $x+2k\pi$ correspondent au même point du cercle.
Valeurs remarquables
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
Pour mémoriser : de $0$ à $\frac{\pi}{2}$, le sinus prend les valeurs $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ ; le cosinus prend les mêmes dans l'ordre inverse.
Angles associés
Pour tout réel $x$, les symétries du cercle donnent :
| Angle | $-x$ | $\pi - x$ | $\pi + x$ | $\frac{\pi}{2} - x$ | $\frac{\pi}{2} + x$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos$ | $\cos x$ | $-\cos x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ |
| $\sin$ | $-\sin x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ |
- $-x$ : symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
- $\pi - x$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ;
- $\pi + x$ : symétrie par rapport à l'origine $O$ ;
- $\frac{\pi}{2} - x$ : symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$.
Retrouver une valeur sans calculatrice
Pour calculer $\cos$ ou $\sin$ d'un réel comme $\frac{17\pi}{6}$ :
- On retire un multiple de $2\pi$ pour se ramener à $]-\pi\,;\pi]$ : $\frac{17\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi$.
- On écrit le réel obtenu à l'aide d'un angle associé : $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
- On applique la formule correspondante et on lit la valeur remarquable.
Calcul de $\cos\frac{17\pi}{6}$ et $\sin\frac{17\pi}{6}$
$\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$. Donc : $$\cos\frac{17\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{17\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$ Contrôle : $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}+\frac{1}{4} = 1$.
Toujours en radians
Dans tout le chapitre, les réels $x$ sont des mesures en radians. Les formules de dérivation et la limite $\frac{\sin x}{x} \to 1$ sont fausses en degrés. Il faut vérifier que la calculatrice est réglée en mode radian.
2.Parité et périodicité
Fonctions sinus et cosinus
La fonction cosinus est la fonction $x \mapsto \cos x$, la fonction sinus est la fonction $x \mapsto \sin x$. Elles sont définies sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[-1\,;1]$.
Fonction paire, impaire, périodique
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
- $f$ est paire si, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- $f$ est impaire si, pour tout réel $x$, $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
- Soit $T > 0$. $f$ est périodique de période $T$ (ou $T$-périodique) si, pour tout réel $x$, $f(x+T) = f(x)$. Sa courbe est invariante par la translation de vecteur $T\vec{\imath}$.
Parité et périodicité de sin et cos
- La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos x$.
- La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$.
- Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$.
Preuve
Soit $x$ un réel et $M$ le point du cercle associé à $x$. Le point $M'$ associé à $-x$ s'obtient en parcourant la même longueur d'arc dans le sens inverse : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses. Il a donc la même abscisse et une ordonnée opposée : $$\cos(-x) = \cos x \quad\text{et}\quad \sin(-x) = -\sin x.$$ Ces égalités valent pour tout réel $x$, et $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ : cosinus est paire, sinus est impaire.
La longueur du cercle trigonométrique est $2\pi$. Les réels $x$ et $x + 2\pi$ sont donc associés au même point $M$, d'où $\cos(x+2\pi) = \cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout réel $x$.
Réduction de l'intervalle d'étude
- Si $f$ est $T$-périodique, il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[0\,;T]$ ou $\left[-\frac{T}{2}\,;\frac{T}{2}\right]$ ; on complète la courbe par translations de vecteurs $kT\vec{\imath}$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Si de plus $f$ est paire ou impaire, il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\frac{T}{2}\right]$ ; on complète par symétrie, puis par translation.
Ainsi, il suffit d'étudier $\cos$ et $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ pour connaître leurs courbes en entier.
Démontrer qu'une fonction est paire, impaire ou périodique
- Vérifier que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ (pour la parité) ou stable par $x \mapsto x + T$ (pour la périodicité).
- Calculer $f(-x)$ (ou $f(x+T)$) en partant de l'expression de $f$, avec les règles $\cos(-u) = \cos u$, $\sin(-u) = -\sin u$, $\cos(u+2\pi) = \cos u$, $\sin(u+2\pi)=\sin u$.
- Comparer avec $f(x)$ et conclure.
Pour $x \mapsto \cos(ax)$ ou $x \mapsto \sin(ax)$ avec $a > 0$, la période est $T = \frac{2\pi}{a}$ : c'est la valeur qui fait apparaître $ax + 2\pi$.
Trois fonctions
- $f(x) = \sin(3x)$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $f\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x) = f(x)$. Donc $f$ est $\frac{2\pi}{3}$-périodique. De plus $f(-x) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f(x)$ : $f$ est impaire.
- $g(x) = x\sin x$ sur $\mathbb{R}$. $g(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = g(x)$ : $g$ est paire. En revanche $g$ n'est pas périodique : $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$ et $g\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, valeurs toutes différentes.
- $h(x) = \cos(2x) + 2\cos x$ sur $\mathbb{R}$. $h(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = h(x)$ : $h$ est paire. $h(x+2\pi) = \cos(2x+4\pi) + 2\cos(x+2\pi) = h(x)$ : $h$ est $2\pi$-périodique. On peut donc l'étudier sur $[0\,;\pi]$ seulement.
Périodique ne veut pas dire de période 2π
Une fonction construite avec $\cos$ ou $\sin$ n'a pas forcément $2\pi$ pour plus petite période : $\cos(2x)$ est $\pi$-périodique. Elle est aussi $2\pi$-périodique, ce qui suffit souvent pour réduire l'étude ; mais choisir la plus petite période raccourcit le travail.
3.Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Dérivées de sin et cos
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ : $$\sin'(x) = \cos x \qquad \cos'(x) = -\sin x.$$ La première formule est admise conformément au programme. La seconde s'en déduit.
Dérivée de cosinus à partir de celle de sinus
Pour tout réel $x$, la formule des angles associés donne $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
La fonction $x \mapsto \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ est de la forme $x \mapsto g(ax+b)$ avec $g = \sin$, $a = 1$, $b = \frac{\pi}{2}$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x \mapsto 1 \times \sin'\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
Or $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x$. Donc cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\cos'(x) = -\sin x$.
Dérivées de fonctions composées
Soit $a$ et $b$ deux réels et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- $x \mapsto \sin(ax+b)$ a pour dérivée $x \mapsto a\cos(ax+b)$ ;
- $x \mapsto \cos(ax+b)$ a pour dérivée $x \mapsto -a\sin(ax+b)$ ;
- $\sin(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\sin u)' = u'\cos u$ ;
- $\cos(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$.
Ce sont des cas particuliers de la formule $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$.
Calculs de dérivées
Toutes les fonctions ci-dessous sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
- $f_1(x) = 3\sin x - 2\cos x$ : $f_1'(x) = 3\cos x + 2\sin x$.
- $f_2(x) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$ : $f_2'(x) = -4\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$.
- $f_3(x) = x\cos x$ (produit) : $f_3'(x) = 1\times\cos x + x \times(-\sin x) = \cos x - x\sin x$.
- $f_4(x) = \sin^2 x = (\sin x)^2$ : avec $(u^2)' = 2u'u$, $f_4'(x) = 2\cos x\sin x$.
- $f_5(x) = \mathrm{e}^{\cos x}$ : avec $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$, $f_5'(x) = -\sin x\,\mathrm{e}^{\cos x}$.
- $f_6(x) = \sin(x^2)$ : avec $u(x) = x^2$, $f_6'(x) = 2x\cos(x^2)$.
Dériver une expression trigonométrique
- Identifier la structure : somme, produit, quotient, composée.
- Pour une composée $\sin(u)$ ou $\cos(u)$, repérer la fonction intérieure $u$ et calculer $u'$ avant d'écrire la dérivée.
- Écrire $(\sin u)' = u'\cos u$ ou $(\cos u)' = -u'\sin u$ sans oublier le facteur $u'$ ni le signe moins.
- Factoriser le résultat quand on veut ensuite étudier son signe.
Dérivées successives
En dérivant plusieurs fois : $\sin' = \cos$, $\sin'' = -\sin$, $\sin''' = -\cos$, $\sin^{(4)} = \sin$. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ vérifient $f'' = -f$. C'est l'équation des oscillations d'un ressort sans frottement, étudiée en physique.
4.Limite de sin(x)/x en 0
Limite fondamentale
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$
Preuve par le nombre dérivé
La fonction sinus est dérivable en $0$ et $\sin'(0) = \cos 0 = 1$. Par définition du nombre dérivé : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \sin'(0).$$ Comme $\sin 0 = 0$, le taux d'accroissement vaut $\frac{\sin x}{x}$. Donc $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.
Une limite voisine
De la même façon, avec $\cos'(0) = -\sin 0 = 0$ et $\cos 0 = 1$ : $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x} = 0.$$
Interprétation et argument géométrique
Pour $x$ proche de $0$, $\sin x \approx x$ : la tangente à la courbe de sinus en $0$ est la droite d'équation $y = x$. C'est l'approximation des petits angles utilisée en physique (pendule).
On peut aussi justifier la limite par la géométrie, en comparant pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$ les aires d'un triangle, d'un secteur angulaire et d'un second triangle : on obtient $\sin x \leqslant x \leqslant \tan x$, puis $\cos x \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant 1$ et on conclut par encadrement. Cette preuve est celle qu'on utilise quand on veut démontrer $\sin' = \cos$ au lieu de l'admettre ; elle n'est pas exigible.
Calculer une limite contenant sin(ax)
Pour une limite en $0$ de la forme $\frac{\sin(ax)}{x}$ avec $a \neq 0$ :
- Faire apparaître au dénominateur exactement l'argument du sinus : $\frac{\sin(ax)}{x} = a \times \frac{\sin(ax)}{ax}$.
- Poser $X = ax$ : quand $x \to 0$, $X \to 0$, donc $\frac{\sin X}{X} \to 1$ (limite d'une composée).
- Conclure : $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x} = a$.
Trois limites
- $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$ : pour $x \neq 0$, $\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \frac{\sin(3x)}{3x}$. Quand $x \to 0$, $X = 3x \to 0$ et $\frac{\sin X}{X} \to 1$. La limite vaut $3$.
- $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x} = \frac{1}{5}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{5}$.
- $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(7x)}$ : pour $x$ proche de $0$ non nul, $\frac{\sin(2x)}{\sin(7x)} = \frac{\sin(2x)}{2x}\times\frac{7x}{\sin(7x)}\times\frac{2}{7}$. Les deux premiers facteurs tendent vers $1$. La limite vaut $\frac{2}{7}$.
En 0 seulement
Le résultat concerne la limite en $0$. En $+\infty$, c'est tout autre chose : pour $x > 0$, $-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}$, et par le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x} = 0$. Par ailleurs, $\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty$.
5.Variations et courbes sur [0 ; 2π]
Variations de la fonction sinus
Sur $[0\,;2\pi]$, $\sin'(x) = \cos x$ est positif sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, négatif sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right]$, positif sur $\left[\frac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$ (lecture sur le cercle : abscisse du point $M$).
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin'(x) = \cos x$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $\sin x$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $0$ |
Variations de la fonction cosinus
Sur $[0\,;2\pi]$, $\cos'(x) = -\sin x$. Or $\sin x \geqslant 0$ sur $[0\,;\pi]$ et $\sin x \leqslant 0$ sur $[\pi\,;2\pi]$.
| $x$ | $0$ | $\pi$ | $2\pi$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos'(x) = -\sin x$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $1$ |
Courbes représentatives
- Les courbes de sinus et cosinus s'appellent des sinusoïdes. Elles oscillent entre $-1$ et $1$.
- La courbe de cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; celle de sinus est symétrique par rapport à l'origine.
- Comme $\cos x = \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$, la courbe de cosinus est l'image de celle de sinus par la translation de vecteur $-\frac{\pi}{2}\vec{\imath}$.
- Tangentes utiles : en $0$, la courbe de sinus a pour tangente $y = x$ ; en $\frac{\pi}{2}$, la courbe de sinus a une tangente horizontale $y = 1$ ; en $0$, la courbe de cosinus a une tangente horizontale $y = 1$.
- Points à placer sur $[0\,;2\pi]$ pour sinus : $(0\,;0)$, $\left(\frac{\pi}{2}\,;1\right)$, $(\pi\,;0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}\,;-1\right)$, $(2\pi\,;0)$. Pour cosinus : $(0\,;1)$, $\left(\frac{\pi}{2}\,;0\right)$, $(\pi\,;-1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}\,;0\right)$, $(2\pi\,;1)$.
Inégalité de référence
Pour tout réel $x \geqslant 0$, $\sin x \leqslant x$.
Preuve par étude de fonction
Soit $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = x - \sin x$. $f$ est dérivable et $f'(x) = 1 - \cos x$.
Comme $\cos x \leqslant 1$ pour tout réel $x$, on a $f'(x) \geqslant 0$ : $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$.
Pour tout $x \geqslant 0$, $f(x) \geqslant f(0) = 0 - \sin 0 = 0$, c'est-à-dire $\sin x \leqslant x$.
Géométriquement : la courbe de sinus est sous sa tangente en $0$ sur $[0\,;+\infty[$.
Étudier une fonction trigonométrique
- Chercher la parité et une période pour réduire l'intervalle d'étude.
- Calculer la dérivée et la factoriser (souvent en utilisant $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, formule vue en 1re).
- Étudier le signe de chaque facteur sur l'intervalle réduit, en s'aidant du cercle trigonométrique ou de la résolution d'une inéquation $\cos x > a$ ou $\sin x > a$.
- Dresser le tableau de variations, calculer les valeurs aux bornes et aux extremums.
- Compléter la courbe par symétrie puis par translation.
Étude de $h(x) = \cos(2x) + 2\cos x$
On a vu que $h$ est paire et $2\pi$-périodique : on l'étudie sur $[0\,;\pi]$.
Dérivée. $h'(x) = -2\sin(2x) - 2\sin x = -4\sin x\cos x - 2\sin x = -2\sin x\,(2\cos x + 1)$.
Signe. Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x \geqslant 0$, nul en $0$ et $\pi$. Ensuite $2\cos x + 1 > 0 \iff \cos x > -\frac{1}{2}$. Sur $[0\,;\pi]$, cosinus est strictement décroissant et $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ : donc $2\cos x + 1 > 0$ sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right[$ et $< 0$ sur $\left]\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$.
Avec le facteur $-2 < 0$ :
| $x$ | $0$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\pi$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $-2\sin x$ | $0$ | $-$ | $-$ | $0$ | |
| $2\cos x + 1$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $h'(x)$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ |
| $h(x)$ | $3$ | $\searrow$ | $-\frac{3}{2}$ | $\nearrow$ | $-1$ |
Valeurs. $h(0) = 1 + 2 = 3$ ; $h\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{4\pi}{3} + 2\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ ; $h(\pi) = \cos(2\pi) + 2\cos\pi = 1 - 2 = -1$.
Le minimum de $h$ sur $\mathbb{R}$ vaut $-\frac{3}{2}$ et le maximum vaut $3$.
6.Équations et inéquations trigonométriques
Équation cos x = a
Soit $a$ un réel.
- Si $a < -1$ ou $a > 1$, l'équation $\cos x = a$ n'a aucune solution.
- Si $-1 \leqslant a \leqslant 1$, il existe un réel $\alpha$ tel que $\cos\alpha = a$, et : $$\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Sur le cercle : la droite verticale d'équation $X = a$ coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses (confondus si $a = \pm 1$).
Équation sin x = a
Soit $a$ un réel.
- Si $a < -1$ ou $a > 1$, l'équation $\sin x = a$ n'a aucune solution.
- Si $-1 \leqslant a \leqslant 1$, il existe un réel $\alpha$ tel que $\sin\alpha = a$, et : $$\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Sur le cercle : la droite horizontale d'équation $Y = a$ coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Justification sur le cercle
Pour $\cos x = \cos\alpha$ : les points du cercle d'abscisse $\cos\alpha$ sont le point $M$ associé à $\alpha$ et son symétrique $M'$ par rapport à l'axe des abscisses, associé à $-\alpha$. Les réels associés à $M$ sont les $\alpha + 2k\pi$, ceux associés à $M'$ les $-\alpha + 2k\pi$.
Pour $\sin x = \sin\alpha$ : les points d'ordonnée $\sin\alpha$ sont $M$ et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, associé à $\pi - \alpha$ (car $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$ et $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$). D'où les deux familles de solutions.
Résoudre cos(u) = a ou sin(u) = a sur un intervalle
- Vérifier que $-1 \leqslant a \leqslant 1$ ; sinon il n'y a pas de solution.
- Trouver un réel $\alpha$ remarquable avec $\cos\alpha = a$ (ou $\sin\alpha = a$), à l'aide du tableau des valeurs remarquables et des angles associés.
- Écrire les deux familles de solutions pour l'expression $u$ : $u = \alpha + 2k\pi$ ou $u = -\alpha + 2k\pi$ (cosinus), $u = \alpha + 2k\pi$ ou $u = \pi - \alpha + 2k\pi$ (sinus).
- Isoler $x$. Si $u = 2x$, on divise aussi $2k\pi$ par $2$ : on obtient $+k\pi$.
- Sélectionner les valeurs de $k$ qui donnent une solution dans l'intervalle imposé, puis contrôler sur le cercle.
Exemples d'équations
- $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi\,;\pi]$. On a $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ et $-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $S = \left\{-\frac{3\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}$.
- $\sin x = \frac{1}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. Avec $\alpha = \frac{\pi}{6}$ : $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}$.
- $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, donc $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : première famille $k = 0, 1$ donne $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ ; deuxième famille $k = 1, 2$ donne $\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$. $S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\,;\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}$.
- $\sin x = 2$ : aucune solution car $2 > 1$.
Résoudre une inéquation cos x ≥ a ou sin x ≥ a
- Résoudre d'abord l'équation associée sur l'intervalle imposé.
- Placer les solutions sur le cercle et tracer la droite $X = a$ (cosinus) ou $Y = a$ (sinus).
- Repérer l'arc du cercle situé du bon côté de la droite : à droite pour $\cos x \geqslant a$, au-dessus pour $\sin x \geqslant a$.
- Traduire cet arc en intervalle(s) de l'intervalle imposé, en parcourant le cercle dans le sens direct. On peut contrôler avec le tableau de variations.
Deux inéquations
- $\cos x \geqslant \frac{1}{2}$ dans $[-\pi\,;\pi]$. L'équation $\cos x = \frac{1}{2}$ a pour solutions $-\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$ dans cet intervalle. Les points d'abscisse au moins $\frac{1}{2}$ forment l'arc de droite, qui contient le point associé à $0$. $S = \left[-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right]$.
- $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. On a $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc les solutions de l'équation dans $[0\,;2\pi[$ sont $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ et $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. L'arc sous la droite $Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ contient le point associé à $\frac{3\pi}{2}$. $S = \left]\frac{4\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\right[$ (bornes exclues car l'inégalité est stricte).
Valeurs non remarquables
Si $a$ n'est pas une valeur remarquable, par exemple $\cos x = 0{,}3$, on ne sait pas écrire $\alpha$ exactement. On peut justifier l'existence et l'unicité d'une solution sur $[0\,;\pi]$ par le théorème des valeurs intermédiaires (cosinus est continue et strictement décroissante de $1$ à $-1$), puis donner une valeur approchée à la calculatrice : $\alpha \approx 1{,}266$. La notation $\arccos$ est hors programme au lycée.