Erreurs fréquentes : Limites de fonctions (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour décrire le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition : en l'infini et au voisinage d'une valeur interdite. Ces limites servent à repérer les asymptotes d'une courbe, à compléter les tableaux de variations et à comparer la croissance de l'exponentielle et des puissances.
Écrire $+\infty-\infty=0$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}=1$.
Ce sont des formes indéterminées : le résultat peut être n'importe quel réel ou l'infini. Par exemple $(x^2)-(x)\to+\infty$ alors que $(x+1)-(x)\to1$. Il faut transformer l'expression avant de conclure.
Conclure $\dfrac{\ell}{0}=\infty$ sans préciser le signe, ou en choisissant le signe au hasard.
Il faut étudier le signe du dénominateur au voisinage du point, à gauche et à droite séparément. Pour $\dfrac{5}{x-2}$ : $+\infty$ en $2^+$ et $-\infty$ en $2^-$.
Garder le terme de plus haut degré pour calculer une limite en un réel, par exemple $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+3}{2x^2}=\dfrac12$.
La règle du terme de plus haut degré ne vaut qu'en $\pm\infty$. En $1$, on remplace : $\dfrac{1+3}{2}=2$.
Confondre asymptote horizontale et verticale : écrire « asymptote $x=3$ » quand $\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$.
Une limite finie $\ell$ en l'infini donne l'asymptote horizontale $y=\ell$. Une limite infinie en un réel $a$ donne l'asymptote verticale $x=a$.
Majorer une fonction pour prouver qu'elle tend vers $+\infty$, ou utiliser le théorème des gendarmes avec une seule inégalité.
Pour $+\infty$ on minore par une fonction qui tend vers $+\infty$ ; pour $-\infty$ on majore. Pour une limite finie, il faut un encadrement complet par deux fonctions ayant la même limite.
Diviser l'inégalité $-1\leq\sin x\leq1$ par $x$ sans tenir compte du signe de $x$.
La division par $x>0$ conserve le sens des inégalités ; la division par $x<0$ l'inverse. On précise toujours l'intervalle de travail, par exemple $x>0$ en $+\infty$.
Écrire que $xe^{-x}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ « parce que $x$ tend vers $+\infty$ », ou invoquer les croissances comparées pour $x^2e^{-x}$ en $-\infty$.
En $+\infty$, $xe^{-x}$ est une forme $\infty\times0$ et tend vers $0$ par croissances comparées. En $-\infty$, $x^2e^{-x}$ n'est pas indéterminée : c'est $(+\infty)\times(+\infty)=+\infty$.
Appliquer la composition dans le mauvais ordre, par exemple pour $e^{1/x}$ en $0^-$ conclure $+\infty$.
On calcule d'abord la limite de la fonction intérieure : $\frac1x\to-\infty$ quand $x\to0^-$, puis $e^X\to0$ quand $X\to-\infty$. La limite est $0$.