Exercices corrigés : Limites de fonctions (Terminale)

a) On a $-3x^3\to-\infty$ et $2x^2\to+\infty$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$ : $$-3x^3+2x^2-7=x^3\left(-3+\frac2x-\frac7{x^3}\right).$$ Comme $\frac2x\to0$ et $\frac7{x^3}\to0$ en $+\infty$, la parenthèse tend vers $-3$. Comme $x^3\to+\infty$, par produit : $\lim_{x\to+\infty}(-3x^3+2x^2-7)=-\infty$.

b) En $-\infty$, $x^4\to+\infty$ et $5x^3\to-\infty$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$ : $$x^4+5x^3+1=x^4\left(1+\frac5x+\frac1{x^4}\right).$$ La parenthèse tend vers $1$ et $x^4\to+\infty$ (exposant pair), donc $\lim_{x\to-\infty}(x^4+5x^3+1)=+\infty$.

c) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ : $$\frac{4x^2-x}{2x^2+3}=\frac{x^2\left(4-\frac1x\right)}{x^2\left(2+\frac3{x^2}\right)}=\frac{4-\frac1x}{2+\frac3{x^2}}.$$ Le numérateur tend vers $4$, le dénominateur vers $2$ : la limite est $\frac42=2$. La droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

d) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq3$ : $$\frac{x^2+1}{x-3}=\frac{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}{x\left(1-\frac3x\right)}=x\times\frac{1+\frac1{x^2}}{1-\frac3x}.$$ Le quotient tend vers $\frac11=1$ et $x\to-\infty$ : par produit, $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{x-3}=-\infty$.

e) En $-\infty$, $5x+2\to-\infty$ et $x^3+1\to-\infty$ : forme $\frac\infty\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq-1$ : $$\frac{5x+2}{x^3+1}=\frac{x\left(5+\frac2x\right)}{x^3\left(1+\frac1{x^3}\right)}=\frac1{x^2}\times\frac{5+\frac2x}{1+\frac1{x^3}}.$$ On a $\frac1{x^2}\to0$ et le second facteur tend vers $5$ : par produit, la limite est $0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$.

1. Pour $x\neq0$ et $x\neq-4$ : $$f(x)=\frac{x\left(\frac1x-2\right)}{x\left(1+\frac4x\right)}=\frac{\frac1x-2}{1+\frac4x}.$$ Comme $\frac1x\to0$ en $+\infty$ et en $-\infty$, le numérateur tend vers $-2$ et le dénominateur vers $1$. Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2$. La droite $\Delta$ d'équation $y=-2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. On a $\lim_{x\to-4}(1-2x)=1+8=9>0$. De plus $x+4>0$ pour $x>-4$ et $x+4<0$ pour $x<-4$, donc $\lim_{x\to-4^+}(x+4)=0^+$ et $\lim_{x\to-4^-}(x+4)=0^-$. Par quotient : $$\lim_{x\to-4^+}f(x)=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to-4^-}f(x)=-\infty.$$ La droite d'équation $x=-4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

3. Pour $x\neq-4$ : $$f(x)-(-2)=\frac{1-2x+2(x+4)}{x+4}=\frac{9}{x+4}.$$ Ce quotient est du signe de $x+4$. Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]-4;+\infty[$ et en dessous de $\Delta$ sur $]-\infty;-4[$. Comme $\frac9{x+4}$ ne s'annule jamais, $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ n'ont aucun point commun.

a) Pour $x>0$ : $\dfrac{1-x}{x+2}=\dfrac{\frac1x-1}{1+\frac2x}$, qui tend vers $\dfrac{-1}{1}=-1$ en $+\infty$. On pose $X=\dfrac{1-x}{x+2}$ : $X\to-1$ et $\lim_{X\to-1}e^X=e^{-1}$. Par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1-x}{x+2}}=e^{-1}$.

b) Pour $x\neq0$ : $\dfrac{9x^2-1}{x^2+2}=\dfrac{9-\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}}$, qui tend vers $9$ en $+\infty$. On pose $X=\dfrac{9x^2-1}{x^2+2}$ (positif pour $x>\frac13$) : $X\to9$ et $\lim_{X\to9}\sqrt X=3$. Par composition, la limite vaut $3$.

c) Quand $x\to0^+$, $\frac1x\to+\infty$, donc $-\frac1x\to-\infty$. On pose $X=-\frac1x$ : $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}e^{-\frac1x}=0$.

d) En $+\infty$ : $-x\to-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$, donc par composition $e^{-x}\to0$. Alors $1+e^{-x}\to1$ et, par quotient, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=1$.

En $-\infty$ : $-x\to+\infty$ et $\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$. Alors $1+e^{-x}\to+\infty$ et, par quotient, $\lim_{x\to-\infty}g(x)=0$.

La droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe de $g$ en $+\infty$, et l'axe des abscisses ($y=0$) l'est en $-\infty$.

a) Pour $x>0$, $x^2+3x>0$. Comme $\sqrt{x^2+3x}\to+\infty$ et $-x\to-\infty$, c'est une forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}.$$ Pour $x>0$, $\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac3x}=x\sqrt{1+\frac3x}$, d'où $$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac3x}+1\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac3x}+1}.$$ Comme $1+\frac3x\to1$, par composition $\sqrt{1+\frac3x}\to1$. La limite est $\dfrac3{1+1}=\dfrac32$.

b) Pour $x\geq1$, les deux racines sont définies et tendent vers $+\infty$ : forme $\infty-\infty$. $$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=\frac{(x+4)-(x-1)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}=\frac{5}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}.$$ Par composition, $\sqrt{x+4}\to+\infty$ et $\sqrt{x-1}\to+\infty$, donc le dénominateur tend vers $+\infty$ et la limite est $0$.

c) L'expression est définie pour $x\leq-3$. En $-\infty$, $x^2+3x\to+\infty$ (même limite que $x^2$), donc par composition $\sqrt{x^2+3x}\to+\infty$. De plus $-x\to+\infty$. Ce n'est pas une forme indéterminée : par somme, $\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=+\infty$.

d) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac1{x^2}}$, donc $$\sqrt{x^2+1}-2x=x\left(\sqrt{1+\frac1{x^2}}-2\right).$$ La parenthèse tend vers $1-2=-1$ et $x\to+\infty$ : par produit, la limite est $-\infty$.

a) En $2$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : forme $\frac00$. On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ (on vérifie : $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$). Pour $x\notin\{1;2\}$ : $$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+2}{x-1}.$$ Donc $\lim_{x\to2}f(x)=\dfrac{2+2}{2-1}=4$.

b) D'après a), $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ au voisinage de $1$ (pour $x\neq1$ et $x\neq2$). Le numérateur tend vers $3>0$. On a $x-1>0$ pour $x>1$ et $x-1<0$ pour $x<1$, donc $\lim_{x\to1^+}(x-1)=0^+$ et $\lim_{x\to1^-}(x-1)=0^-$. Par quotient : $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$. La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

c) Forme $\frac00$. Pour $x\geq0$ et $x\neq1$ : $x-1=(\sqrt x)^2-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$, donc $$\frac{\sqrt x-1}{x-1}=\frac{1}{\sqrt x+1}.$$ Comme $\sqrt x\to1$ quand $x\to1$, la limite vaut $\dfrac12$.

d) Forme $\frac00$. Pour $x\neq0$, on pose $X=2x$ : $$\frac{e^{2x}-1}{x}=2\times\frac{e^{X}-1}{X}.$$ Quand $x\to0$, $X\to0$, et $\lim_{X\to0}\dfrac{e^X-1}{X}=1$ (nombre dérivé de l'exponentielle en $0$). Par composition puis produit, $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2$.

a) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $$e^x-x^2+1=x^2\left(\frac{e^x}{x^2}-1+\frac1{x^2}\right).$$ Par croissances comparées, $\frac{e^x}{x^2}\to+\infty$, donc la parenthèse tend vers $+\infty$. Avec $x^2\to+\infty$, par produit la limite est $+\infty$.

b) Forme $\infty\times0$. On développe : $(2x+1)e^{-x}=2xe^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ ; par composition, $e^{-x}\to0$. La limite est $0$.

c) Forme $\frac\infty\infty$. Pour $x>0$, $e^x-1>0$ et : $$\frac{3e^x+x}{e^x-1}=\frac{e^x\left(3+xe^{-x}\right)}{e^x\left(1-e^{-x}\right)}=\frac{3+xe^{-x}}{1-e^{-x}}.$$ Par croissances comparées $xe^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. La limite est $\dfrac31=3$ : la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

d) Forme $\infty\times0$. On développe : $(x^2-x)e^x=x^2e^x-xe^x$. Par croissances comparées en $-\infty$, $x^2e^x\to0$ et $xe^x\to0$. La limite est $0$.

e) Forme $\frac\infty\infty$. On pose $X=\frac x2$, donc $x=2X$ : $$\frac{e^{x/2}}{x}=\frac{e^X}{2X}=\frac12\times\frac{e^X}{X}.$$ Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$ et $\frac{e^X}{X}\to+\infty$ par croissances comparées. Par composition puis produit par $\frac12>0$, la limite est $+\infty$.

1. Quand $x\to+\infty$, $-\frac1x\to0$ et $\lim_{X\to0}e^X=e^0=1$ : par composition $e^{-1/x}\to1$. Comme $\frac1x\to0$, par produit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\times0=0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.

2. Quand $x\to0^+$, $\frac1x\to+\infty$ et $e^{-1/x}\to0$ : forme $\infty\times0$. On pose $X=\frac1x$ : $f(x)=Xe^{-X}$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $\lim_{X\to+\infty}Xe^{-X}=0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$.

3. On écrit $f(x)=u(x)v(x)$ avec $u(x)=\frac1x$, $u'(x)=-\frac1{x^2}$, et $v(x)=e^{-1/x}$. La fonction $x\mapsto-\frac1x$ a pour dérivée $\frac1{x^2}$, donc $v'(x)=\frac1{x^2}e^{-1/x}$. Ainsi $$f'(x)=-\frac1{x^2}e^{-1/x}+\frac1x\times\frac1{x^2}e^{-1/x}=e^{-1/x}\left(\frac1{x^3}-\frac1{x^2}\right)=\frac{(1-x)e^{-1/x}}{x^3}.$$ Pour $x>0$, $e^{-1/x}>0$ et $x^3>0$ : $f'(x)$ est du signe de $1-x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$. Son maximum est $f(1)=e^{-1}$.

4. Avec $X=\frac1x$ : $\dfrac{e^{-1/x}}{x^n}=X^ne^{-X}$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $X^ne^{-X}\to0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}\dfrac{e^{-1/x}}{x^n}=0$ pour tout $n\geq1$.

a) Forme $\frac\infty\infty$. On pose $X=\sqrt x$ ; pour $x>0$, $x=X^2$ et $\dfrac{e^{\sqrt x}}{x}=\dfrac{e^X}{X^2}$. Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $\dfrac{e^X}{X^2}\to+\infty$. Par composition, la limite est $+\infty$.

b) Forme $\infty\times0$. Avec $X=\sqrt x$ : $x^2e^{-\sqrt x}=X^4e^{-X}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées quand $X\to+\infty$. Par composition, la limite est $0$.

c) Forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$ : $$e^x-e^{\sqrt x}=e^x\left(1-\frac{e^{\sqrt x}}{e^x}\right)=e^x\left(1-e^{\sqrt x-x}\right).$$ On a $\sqrt x-x=\sqrt x(1-\sqrt x)\to-\infty$ (produit de $+\infty$ par $-\infty$). On pose $Y=\sqrt x-x$ : $\lim_{Y\to-\infty}e^Y=0$, donc par composition $e^{\sqrt x-x}\to0$. La parenthèse tend vers $1$ et $e^x\to+\infty$ : la limite est $+\infty$.

d) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $e^{\sqrt x}-x=x\left(\dfrac{e^{\sqrt x}}{x}-1\right)$. D'après a), la parenthèse tend vers $+\infty$ ; avec $x\to+\infty$, par produit la limite est $+\infty$.

1. a) Quand $x\to-\infty$ : $x+3\to-\infty$ ; $-x\to+\infty$ et, par composition, $e^{-x}\to+\infty$. Par produit, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

b) En $+\infty$, c'est une forme $\infty\times0$. On développe : $f(x)=xe^{-x}+3e^{-x}$. Par croissances comparées, $\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ ; par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. L'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

2. a) $f=uv$ avec $u(x)=x+3$, $u'(x)=1$, $v(x)=e^{-x}$, $v'(x)=-e^{-x}$. Pour tout réel $x$ : $$f'(x)=e^{-x}-(x+3)e^{-x}=(1-x-3)e^{-x}=-(x+2)e^{-x}.$$

b) Comme $e^{-x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $-(x+2)$ : strictement positif pour $x<-2$, nul en $-2$, strictement négatif pour $x>-2$. De plus $f(-2)=(-2+3)e^{2}=e^2$.

3. Comme $e^{-x}>0$ pour tout $x$, $f(x)=0$ équivaut à $x+3=0$, soit $x=-3$. L'ensemble des solutions est $\{-3\}$. Le signe de $f(x)$ est celui de $x+3$ : $f(x)<0$ sur $]-\infty;-3[$ et $f(x)>0$ sur $]-3;+\infty[$.

4. a) Pour $x\geq0$, $x>-3$ donc $f(x)>0$ d'après la question 3. De plus $f$ est décroissante sur $[-2;+\infty[$, donc sur $[0;+\infty[$ : pour $x\geq0$, $f(x)\leq f(0)=3$. Ainsi $0<f(x)\leq3$.

b) Pour $x>0$, en divisant par $x>0$ : $0<\dfrac{f(x)}{x}\leq\dfrac3x$. Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac3x=0$, par le théorème d'encadrement $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.