Fiche résumé : Limites de fonctions (Terminale)

Ce chapitre donne les outils pour décrire le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition : en l'infini et au voisinage d'une valeur interdite. Ces limites servent à repérer les asymptotes d'une courbe, à compléter les tableaux de variations et à comparer la croissance de l'exponentielle et des puissances.

Limite finie en $+\infty$ : tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les $f(x)$ pour $x$ assez grand. Alors $y=\ell$ est asymptote horizontale.
Limite $+\infty$ en $+\infty$ : pour tout $A$, $f(x)>A$ pour $x$ assez grand.
Limite infinie en un réel $a$ (éventuellement à gauche ou à droite) : $x=a$ est asymptote verticale.
Position courbe / asymptote $y=\ell$ : signe de $f(x)-\ell$.
Références : $x^n\to+\infty$ en $+\infty$ ; en $-\infty$, $+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair ; $\frac1{x^n}\to0$ en $\pm\infty$ ; $\frac1x\to+\infty$ en $0^+$, $-\infty$ en $0^-$ ; $\sqrt x\to+\infty$ ; $\lim_{+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{-\infty}e^x=0$.
Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$, $\frac00$.
Quotient $\frac{\ell}{0}$ avec $\ell\neq0$ : limite infinie, signe donné par le signe du dénominateur ($0^+$ ou $0^-$).
Polynômes et fractions rationnelles en $\pm\infty$ : limite du terme (ou du quotient des termes) de plus haut degré ; justification par factorisation.
Racines : quantité conjuguée, $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$.
Nombre dérivé : $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$.
Composition : si $u(x)\to b$ quand $x\to a$ et $v(X)\to c$ quand $X\to b$, alors $v(u(x))\to c$.
Comparaison : $f\geq g$ et $g\to+\infty$ donnent $f\to+\infty$ ; $f\leq g$ et $g\to-\infty$ donnent $f\to-\infty$.
Encadrement : $g\leq f\leq h$ et $g,h\to\ell$ donnent $f\to\ell$.
Inégalités clés : $e^x>x$ pour tout $x$ ; $e^x>\frac{x^2}{2}$ pour $x\geq0$.
Croissances comparées ($n\geq1$) : $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0,\quad \lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0.$$
Réflexe : en présence d'exponentielle et de puissances, factoriser par le terme dominant puis citer les croissances comparées.