QCM : Limites de fonctions (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour décrire le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition : en l'infini et au voisinage d'une valeur interdite. Ces limites servent à repérer les asymptotes d'une courbe, à compléter les tableaux de variations et à comparer la croissance de l'exponentielle et des puissances.
Que vaut $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-5x}{1-x^2}$ ?
Pour $x\neq0$, $\dfrac{3x^2-5x}{1-x^2}=\dfrac{x^2\left(3-\frac5x\right)}{x^2\left(\frac1{x^2}-1\right)}=\dfrac{3-\frac5x}{\frac1{x^2}-1}$, qui tend vers $\dfrac{3}{-1}=-3$. Le piège principal est d'oublier le signe moins du terme $-x^2$ au dénominateur, ce qui donne $3$. La réponse $-\infty$ vient d'un calcul séparé du numérateur et du dénominateur, qui mène pourtant à la forme indéterminée $\frac\infty\infty$.
Que vaut $\lim_{x\to1^-}\dfrac{2x+1}{x-1}$ ?
Le numérateur tend vers $3>0$. Pour $x<1$, on a $x-1<0$, donc le dénominateur tend vers $0^-$. Par quotient, $\dfrac{3}{0^-}$ donne $-\infty$. Le piège est de conclure $+\infty$ sans étudier le signe du dénominateur à gauche de $1$. La réponse « n'existe pas » confond la limite à gauche avec la limite sans côté précisé : à droite la limite vaut $+\infty$, à gauche $-\infty$.
Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$. Quelles sont les asymptotes à la courbe de $f$ ?
Le dénominateur s'annule en $-3$ et le numérateur y vaut $-7\neq0$ : la limite est infinie en $-3$, donc $x=-3$ est asymptote verticale. En $\pm\infty$, $f(x)=\dfrac{2-\frac1x}{1+\frac3x}\to2$, donc $y=2$ est asymptote horizontale. Les pièges : oublier le signe de la valeur interdite ($x=3$), inverser les rôles de $x$ et $y$, ou faire le quotient des termes constants ($-\frac13$) au lieu des termes de plus haut degré.
Que vaut $\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}$ ?
Quand $x\to-\infty$, $x^2\to+\infty$ et $-x\to+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$ par composition. Le produit tend vers $+\infty$ : ce n'est pas une forme indéterminée. Le piège est d'appliquer mécaniquement le résultat $\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0$, qui concerne $+\infty$ et non $-\infty$.
Que vaut $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ ?
Forme $\infty-\infty$. Avec la quantité conjuguée, pour $x>0$ : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}$, qui tend vers $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$. Le piège principal est d'écrire $\infty-\infty=0$, ou d'assimiler $\sqrt{x^2+x}$ à $x$ et de conclure trop vite. La réponse $1$ vient d'un oubli du terme $+x$ au dénominateur après la multiplication par la quantité conjuguée.
Que vaut $\lim_{x\to0^+}e^{-1/x}$ ?
On pose $X=-\dfrac1x$. Quand $x\to0^+$, $\dfrac1x\to+\infty$, donc $X\to-\infty$. Comme $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$, par composition la limite vaut $0$. La réponse $1$ vient d'un remplacement de $x$ par $0$ dans l'exposant, alors que $0$ est une valeur interdite. La réponse $+\infty$ vient d'une erreur de signe sur la fonction intérieure. Une exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives : la limite $-\infty$ est exclue d'emblée.
Une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ vérifie $f(x)\leq x$ pour tout $x>0$. Que peut-on en déduire sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?
Une majoration par une fonction qui tend vers $+\infty$ ne donne aucune information. Les fonctions $x\mapsto\frac x2$, $x\mapsto\frac1x$ et $x\mapsto-x$ vérifient toutes $f(x)\leq x$ sur $]0;+\infty[$, et leurs limites en $+\infty$ sont respectivement $+\infty$, $0$ et $-\infty$. Le piège est d'utiliser le théorème de comparaison dans le mauvais sens : pour conclure à $+\infty$, il faut minorer $f$ par une fonction qui tend vers $+\infty$.
Que vaut $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x-\sin x}{x}$ ?
Pour $x>0$, $\dfrac{5x-\sin x}{x}=5-\dfrac{\sin x}{x}$. De $-1\leq\sin x\leq1$ et $x>0$, on tire $-\dfrac1x\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$, donc par encadrement $\dfrac{\sin x}{x}\to0$ et la limite vaut $5$. Le piège est de croire que la présence d'un sinus empêche toute limite. Les réponses $4$ et $6$ viennent du remplacement de $\sin x$ par une valeur fixe, $1$ ou $-1$, puis d'une simplification abusive.
Que vaut $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ ?
C'est une forme $\frac00$. On reconnaît le taux d'accroissement de $g:x\mapsto e^{2x}$ en $0$ : $\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}$. Comme $g'(x)=2e^{2x}$, ce taux tend vers $g'(0)=2$. Le piège principal est de recopier le résultat de référence $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ sans tenir compte du facteur $2$ dans l'exposant. Les réponses $0$ et $+\infty$ viennent d'une lecture de $\frac00$ comme $0$, ou de $\frac{\ell}{0}$ comme $\infty$.
Que vaut $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x}{2e^x-x^3}$ ?
Forme $\frac\infty\infty$. On factorise par $e^x$ : $\dfrac{e^x\left(1+xe^{-x}\right)}{e^x\left(2-x^3e^{-x}\right)}=\dfrac{1+xe^{-x}}{2-x^3e^{-x}}$. Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ et $x^3e^{-x}\to0$, donc la limite vaut $\dfrac12$. Le piège principal est de croire que $x^3$ l'emporte sur $e^x$, ce qui mène à $-\infty$ ou $0$. La réponse $1$ vient d'un oubli du coefficient $2$.