Limites de fonctions
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Ce chapitre donne les outils pour décrire le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition : en l'infini et au voisinage d'une valeur interdite. Ces limites servent à repérer les asymptotes d'une courbe, à compléter les tableaux de variations et à comparer la croissance de l'exponentielle et des puissances.
Prérequis
- Fonctions de référence : carré, cube, inverse, racine carrée, puissances entières
- Fonction exponentielle : propriétés algébriques, dérivée, signe
- Dérivation et étude des variations d'une fonction — Revoir Dérivation
- Limites de suites (définitions, opérations, théorèmes de comparaison et des gendarmes)
- Factorisation, développement, tableaux de signes
À la fin du chapitre, on sait
- Connaître les définitions d'une limite finie ou infinie en l'infini et d'une limite infinie en un réel
- Interpréter graphiquement une limite par une asymptote horizontale ou verticale
- Calculer une limite à l'aide des opérations et reconnaître les formes indéterminées
- Lever une forme indéterminée par factorisation ou par la quantité conjuguée
- Déterminer la limite d'une fonction composée
- Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement
- Connaître et démontrer les croissances comparées de l'exponentielle et des puissances
1.Limite d'une fonction en l'infini
Étudier la limite de $f$ en $+\infty$, c'est regarder ce que deviennent les valeurs $f(x)$ quand $x$ devient de plus en plus grand. Trois situations peuvent se présenter : les valeurs $f(x)$ se rapprochent d'un réel, elles deviennent aussi grandes (ou aussi négatives) qu'on veut, ou elles n'ont aucun comportement stable. Les définitions ressemblent à celles des suites : on remplace « pour $n$ assez grand » par « pour $x$ assez grand ».
Limite finie en l'infini
Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $[b;+\infty[$ et $\ell$ un réel.
On dit que $f$ admet pour limite $\ell$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell.$$
On définit de même $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\ell$ pour une fonction définie sur un intervalle $]-\infty;b]$, en remplaçant « pour $x$ assez grand » par « pour $x$ négatif assez grand en valeur absolue ».
Asymptote horizontale
Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell$ (respectivement $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\ell$), on dit que la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$).
Graphiquement, la courbe se rapproche de cette droite quand $x$ tend vers l'infini.
Limite infinie en l'infini
Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $[b;+\infty[$.
- On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
- On dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]-\infty;A[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On définit de la même façon les limites infinies en $-\infty$.
Unicité et absence de limite
Lorsqu'une limite existe, elle est unique (résultat admis).
Une fonction peut ne pas avoir de limite en $+\infty$ : c'est le cas de $x\mapsto\sin x$ ou de $x\mapsto\cos x$, dont les valeurs oscillent sans fin entre $-1$ et $1$.
Limites des fonctions de référence en l'infini
Pour $n$ entier naturel non nul :
| Fonction | Limite en $-\infty$ | Limite en $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x^n$, $n$ pair | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$, $n$ impair | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ | $0$ | $0$ |
| $\sqrt{x}$ | non définie | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | non définie | $0$ |
| $e^x$ | $0$ | $+\infty$ |
Les limites de l'exponentielle sont démontrées dans la section sur la comparaison. En particulier, l'axe des abscisses (droite $y=0$) est asymptote horizontale à la courbe de $x\mapsto\dfrac1x$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$.
Une asymptote horizontale et la position de la courbe
Soit $f(x)=2+\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$.
On a $\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$. La droite $\Delta$ d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Position : $f(x)-2=\dfrac1x$, qui est strictement positif pour $x>0$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de $\Delta$ sur $]0;+\infty[$.
Étudier la position d'une courbe par rapport à une asymptote horizontale
Pour une asymptote d'équation $y=\ell$ :
- On calcule la différence $d(x)=f(x)-\ell$ et on la simplifie (réduction au même dénominateur, factorisation).
- On étudie le signe de $d(x)$.
- On conclut : si $d(x)>0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; si $d(x)<0$, elle est en dessous ; si $d(x)=0$, elles se coupent.
2.Limite d'une fonction en un réel
On s'intéresse ici au comportement de $f(x)$ quand $x$ se rapproche d'un réel $a$, en général une borne de l'ensemble de définition (une valeur interdite). Le cas typique est celui de $\dfrac1x$ quand $x$ se rapproche de $0$ : les valeurs deviennent très grandes en valeur absolue.
Limite infinie en un réel
Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a-h;a[$ ou $]a;a+h[$ (avec $h>0$), ou sur leur réunion.
- On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$. On note $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$.
- On définit de même $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ avec les intervalles $]-\infty;A[$.
Limite à gauche, limite à droite
Lorsque le comportement de $f$ n'est pas le même des deux côtés de $a$, on distingue :
- la limite à droite en $a$, quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$, notée $\lim_{x\to a^+}f(x)$ ou $\lim_{x\to a,\ x>a}f(x)$ ;
- la limite à gauche en $a$, quand $x$ tend vers $a$ avec $x<a$, notée $\lim_{x\to a^-}f(x)$ ou $\lim_{x\to a,\ x<a}f(x)$.
De même, la notation $0^+$ désigne une quantité qui tend vers $0$ en restant strictement positive, et $0^-$ une quantité qui tend vers $0$ en restant strictement négative.
Asymptote verticale
Si la limite de $f$ en $a$ (éventuellement à gauche ou à droite seulement) est $+\infty$ ou $-\infty$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Limites de référence en 0
$$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt x}=+\infty.$$
Pour $n$ entier naturel non nul : $\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^n}=+\infty$ ; en $0^-$, la limite est $+\infty$ si $n$ est pair et $-\infty$ si $n$ est impair.
Dans tous ces cas, l'axe des ordonnées (droite $x=0$) est asymptote verticale à la courbe.
Limite finie en un réel
On dit que $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $a$ si les valeurs $f(x)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut dès que $x$ est suffisamment proche de $a$. On note $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.
Fonctions usuelles en un point de leur ensemble de définition
Si $a$ appartient à l'ensemble de définition d'une fonction construite à partir des fonctions de référence (polynômes, quotients, racine carrée, exponentielle), alors $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Cette propriété traduit la continuité, étudiée dans un autre chapitre. Par exemple $\lim_{x\to 1}(x^2+3x)=4$.
Le calcul d'une limite en un réel n'est donc vraiment intéressant qu'aux valeurs interdites et aux bornes ouvertes de l'ensemble de définition.
Deux asymptotes pour une même courbe
Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
En 2. On a $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$. Pour $x>2$, $x-2>0$, donc $\lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+$ et, par quotient, $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$. Pour $x<2$, $x-2<0$, donc $\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-$ et $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$. La droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
En $+\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq2$ : $$f(x)=\frac{x\left(3-\frac1x\right)}{x\left(1-\frac2x\right)}=\frac{3-\frac1x}{1-\frac2x}.$$ Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$, on obtient $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac31=3$. Même calcul en $-\infty$. La droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
Position. $f(x)-3=\dfrac{3x-1-3(x-2)}{x-2}=\dfrac{5}{x-2}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour $x>2$ et en dessous pour $x<2$.
Limite d'un quotient dont le dénominateur tend vers 0
Pour calculer $\lim_{x\to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lorsque $\lim_{x\to a}v(x)=0$ et $\lim_{x\to a}u(x)=\ell\neq0$ :
- On calcule la limite $\ell$ du numérateur et on note son signe.
- On étudie le signe de $v(x)$ à gauche et à droite de $a$ (tableau de signes si besoin).
- On applique la règle des signes : par exemple $\dfrac{\ell}{0^+}$ avec $\ell>0$ donne $+\infty$.
Exemple. $h(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$ en $2$. Le numérateur tend vers $3>0$. On a $x^2-4=(x-2)(x+2)$ :
| $x$ | $-2$ | $2$ | ||
|---|---|---|---|---|
| signe de $x^2-4$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Donc $\lim_{x\to2^+}(x^2-4)=0^+$ et $\lim_{x\to2^-}(x^2-4)=0^-$, d'où $\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty$.
Si le numérateur tend aussi vers $0$, on est face à une forme indéterminée : il faut d'abord transformer l'expression.
Reconnaître un nombre dérivé
On cherche $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$. Numérateur et dénominateur tendent vers $0$ : forme indéterminée.
On reconnaît un taux d'accroissement : $\dfrac{e^x-1}{x}=\dfrac{e^x-e^0}{x-0}$. Comme la fonction exponentielle est dérivable en $0$, ce taux tend vers $\exp'(0)=e^0=1$. Donc $$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1.$$
3.Opérations sur les limites
Les règles sont les mêmes que pour les suites. Dans les tableaux ci-dessous, $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels, et les limites sont toutes prises au même endroit ($a$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$). « F.I. » signifie forme indéterminée : les règles ne permettent pas de conclure directement.
Limite d'une somme
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim (f+g)$ | $\ell+\ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | F.I. |
Limite d'un produit
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell\neq0$ | $\infty$ | $0$ |
|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell'$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $\lim (fg)$ | $\ell\ell'$ | $\infty$ | $\infty$ | F.I. |
Lorsque le résultat est infini, son signe ($+\infty$ ou $-\infty$) s'obtient par la règle des signes. Par exemple, si $\lim f=-3$ et $\lim g=+\infty$, alors $\lim fg=-\infty$.
Limite d'un quotient
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell$ | $\infty$ | $\ell\neq0$ ou $\infty$ | $0$ | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell'\neq0$ | $\infty$ | $\ell'$ | $0^+$ ou $0^-$ | $0$ | $\infty$ |
| $\lim \dfrac fg$ | $\dfrac{\ell}{\ell'}$ | $0$ | $\infty$ | $\infty$ | F.I. | F.I. |
Le signe des résultats infinis s'obtient par la règle des signes. Pour la quatrième colonne, il faut connaître le signe de $g(x)$ au voisinage du point étudié : c'est pour cela qu'on écrit $0^+$ ou $0^-$.
Les quatre formes indéterminées
$$\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \frac00.$$
Une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas : elle signifie qu'il faut transformer l'écriture de la fonction (factoriser, développer, simplifier, utiliser la quantité conjuguée, un théorème de comparaison ou de croissances comparées).
Lever une indétermination en l'infini par factorisation
Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $+\infty$ ou $-\infty$ :
- On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
- On simplifie.
- On utilise $\lim\dfrac{1}{x^k}=0$ pour les termes restants, puis les règles d'opérations.
Polynômes et fonctions rationnelles
1. $\lim_{x\to+\infty}(x^2-3x+1)$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x\neq0$, $x^2-3x+1=x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $x^2$ vers $+\infty$, donc la limite est $+\infty$.
2. $\lim_{x\to-\infty}(-2x^3+5x^2)$ : pour $x\neq0$, $-2x^3+5x^2=x^3\left(-2+\frac5x\right)$. On a $\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et la parenthèse tend vers $-2$, donc par produit la limite est $+\infty$.
3. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2-5}$ : forme $\frac\infty\infty$. Pour $x$ assez grand, $$\frac{2x^2+x}{x^2-5}=\frac{x^2\left(2+\frac1x\right)}{x^2\left(1-\frac5{x^2}\right)}=\frac{2+\frac1x}{1-\frac5{x^2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac21=2.$$
4. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x^2+1}$ : $\dfrac{x\left(1+\frac1x\right)}{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac1x\times\dfrac{1+\frac1x}{1+\frac1{x^2}}$. Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $1$ : la limite est $0$.
5. $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^3-1}{2x+3}$ : $\dfrac{x^3\left(1-\frac1{x^3}\right)}{x\left(2+\frac3x\right)}=x^2\times\dfrac{1-\frac1{x^3}}{2+\frac3x}$. On a $x^2\to+\infty$ et le quotient tend vers $\frac12$ : la limite est $+\infty$.
Raccourci pour les polynômes et les fonctions rationnelles
En $+\infty$ et en $-\infty$ :
- un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
- une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Ce raccourci se justifie par la factorisation précédente. Sur une copie, il est prudent de rédiger la factorisation.
Uniquement en l'infini
La règle du terme de plus haut degré ne vaut qu'en $+\infty$ et $-\infty$. En un réel $a$, on ne garde surtout pas le terme de plus haut degré : on remplace $x$ par $a$ si c'est possible, sinon on étudie le signe du dénominateur ou on simplifie.
Fonctions avec racines carrées : quantité conjuguée
Face à une forme $\infty-\infty$ du type $\sqrt{u(x)}-\sqrt{v(x)}$ :
- On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{u(x)}+\sqrt{v(x)}$.
- On utilise $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$.
- On calcule la limite de l'expression obtenue.
Si l'une des deux quantités domine clairement, une simple factorisation suffit souvent.
Deux limites avec des racines
1. En $+\infty$, $\sqrt{x+1}-\sqrt x$ est de la forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$ : $$\sqrt{x+1}-\sqrt x=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt x)(\sqrt{x+1}+\sqrt x)}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}.$$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt x\right)=0$.
2. En $+\infty$, $\sqrt x-x$ est de la forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$, $\sqrt x-x=\sqrt x\,(1-\sqrt x)$. On a $\sqrt x\to+\infty$ et $1-\sqrt x\to-\infty$, donc par produit $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt x-x)=-\infty$.
4.Limite d'une fonction composée
Théorème de composition
Soit $a$, $b$, $c$ des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$. Soit $u$ et $v$ deux fonctions telles que la composée $x\mapsto v(u(x))$ est définie au voisinage de $a$.
$$\text{Si } \lim_{x\to a}u(x)=b \text{ et } \lim_{X\to b}v(X)=c, \text{ alors } \lim_{x\to a}v(u(x))=c.$$
Ce résultat est admis.
Calculer la limite d'une composée
- On repère la fonction « intérieure » $u$ et la fonction « extérieure » $v$ : $f(x)=v(u(x))$.
- On calcule $b=\lim_{x\to a}u(x)$.
- On pose $X=u(x)$ et on calcule $c=\lim_{X\to b}v(X)$.
- On conclut par composition : $\lim_{x\to a}f(x)=c$.
Sur une copie, on écrit explicitement « on pose $X=\dots$ » et on cite le théorème de composition.
Trois composées
1. $\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}$. On pose $X=-x^2$ : $\lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$. Par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0$. Le même raisonnement donne la même limite en $-\infty$.
2. $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+3}}$. Pour $x>0$, $\dfrac{4x+1}{x+3}=\dfrac{4+\frac1x}{1+\frac3x}$, qui tend vers $4$. On pose $X=\dfrac{4x+1}{x+3}$ ; comme $\lim_{X\to4}\sqrt X=\sqrt4=2$, par composition la limite cherchée vaut $2$.
3. $f(x)=e^{1/x}$ en $0$. À droite : $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ et $\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty$, donc $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$. À gauche : $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$, donc $\lim_{x\to0^-}f(x)=0$. La droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe, du côté droit seulement.
L'ordre compte
Dans $v(u(x))$, on calcule d'abord la limite de la fonction intérieure $u$. Pour $e^{-x^2}$, la fonction intérieure est $x\mapsto-x^2$ et la fonction extérieure est l'exponentielle, pas l'inverse. Une erreur d'ordre conduit à un calcul sans rapport avec la fonction étudiée.
5.Théorèmes de comparaison et d'encadrement
Théorèmes de comparaison
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[b;+\infty[$.
- Si, pour tout $x\geq b$, $f(x)\geq g(x)$ et si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
- Si, pour tout $x\geq b$, $f(x)\leq g(x)$ et si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
Ces théorèmes s'adaptent en $-\infty$ et en un réel $a$ (l'inégalité doit alors être vraie au voisinage du point étudié).
Démonstration du premier point
Soit $A$ un réel. Comme $\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $g(x)$ pour $x$ assez grand : il existe un réel $c$ tel que, pour tout $x>c$, $g(x)>A$.
Pour tout $x>\max(b;c)$, on a à la fois $f(x)\geq g(x)$ et $g(x)>A$, donc $f(x)>A$.
Ainsi, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
Le second point se démontre de la même façon avec les intervalles $]-\infty;A[$.
Limites de l'exponentielle
$$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0.$$
Démonstration
Une inégalité. Soit $h(x)=e^x-x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $h$ est dérivable et $h'(x)=e^x-1$. Comme l'exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$ : $h'(x)<0$ pour $x<0$ et $h'(x)>0$ pour $x>0$. La fonction $h$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$ ; son minimum est $h(0)=1>0$. Donc, pour tout réel $x$, $e^x>x$.
En $+\infty$. Pour tout $x$, $e^x>x$ et $\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$. Par comparaison, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
En $-\infty$. Pour tout réel $x$, $e^x=\dfrac{1}{e^{-x}}$. On pose $X=-x$ : quand $x\to-\infty$, $X\to+\infty$ et $e^X\to+\infty$. Par composition $\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, puis par quotient $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.
Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes)
Soit $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $[b;+\infty[$ et $\ell$ un réel.
Si, pour tout $x\geq b$, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=\ell$, alors $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.$$
Le théorème s'adapte en $-\infty$ et en un réel $a$. Il est admis ; sa démonstration suit la même idée que pour les suites.
Fonctions contenant un sinus ou un cosinus
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n'ont pas de limite en l'infini. Pour une expression qui en contient :
- On part de $-1\leq\sin x\leq1$ (ou $-1\leq\cos x\leq1$).
- On reconstruit l'expression étudiée par opérations sur l'inégalité, en faisant attention au signe quand on multiplie ou divise.
- Si on cherche une limite infinie, une seule inégalité suffit (minoration pour $+\infty$, majoration pour $-\infty$) ; si on cherche une limite finie, il faut un encadrement dont les deux bornes ont la même limite.
Comparaison et encadrement en pratique
1. $f(x)=x+\sin x$. Pour tout $x$, $\sin x\geq-1$, donc $f(x)\geq x-1$. Comme $\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$, par comparaison $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. De même $f(x)\leq x+1$ et $\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty$, donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
2. $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ sur $]0;+\infty[$. Pour $x>0$, en divisant $-1\leq\sin x\leq1$ par $x>0$ : $-\dfrac1x\leq g(x)\leq\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ ; par encadrement, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$.
3. $k(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x}=2+\dfrac{\cos x}{x}$ pour $x>0$. De $-1\leq\cos x\leq1$ et $x>0$ on tire $2-\dfrac1x\leq k(x)\leq2+\dfrac1x$. Les deux bornes tendent vers $2$ : par encadrement $\lim_{x\to+\infty}k(x)=2$, et la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
Bon sens de l'inégalité
Pour montrer qu'une fonction tend vers $+\infty$, il faut la minorer par une fonction qui tend vers $+\infty$. La majorer ne donne rien : $f(x)\leq x$ est compatible avec $\lim f=+\infty$ comme avec $\lim f=0$.
6.Croissances comparées de l'exponentielle et des puissances
Les expressions $\dfrac{e^x}{x}$ en $+\infty$, $xe^{-x}$ en $+\infty$ ou $xe^x$ en $-\infty$ sont des formes indéterminées ($\frac\infty\infty$ ou $0\times\infty$). Les règles d'opérations ne suffisent pas : il faut savoir qui de l'exponentielle ou de la puissance l'emporte.
Croissances comparées
Pour tout entier naturel $n\geq1$ :
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0.$$
En particulier, pour $n=1$ : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$.
Démonstration (exigible)
Étape 1 : une inégalité. Soit $g(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$ sur $[0;+\infty[$. La fonction $g$ est dérivable et $g'(x)=e^x-x$. On a montré dans la section précédente que $e^x>x$ pour tout réel $x$, donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Comme $g(0)=1$, on a $g(x)\geq1>0$ pour tout $x\geq0$, c'est-à-dire $e^x>\dfrac{x^2}{2}$.
Étape 2 : cas $n=1$. Pour $x>0$, en divisant par $x>0$ : $\dfrac{e^x}{x}>\dfrac x2$. Comme $\lim_{x\to+\infty}\dfrac x2=+\infty$, par comparaison $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$.
Étape 3 : cas général. Soit $n\geq1$ et $x>0$. On écrit $e^x=\left(e^{x/n}\right)^n$ et $x=n\times\dfrac xn$, d'où $$\frac{e^x}{x^n}=\frac{\left(e^{x/n}\right)^n}{n^n\left(\frac xn\right)^n}=\frac{1}{n^n}\left(\frac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n.$$ On pose $X=\dfrac xn$ : quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$ et, d'après l'étape 2, $\dfrac{e^X}{X}\to+\infty$. Par composition $\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\to+\infty$, donc sa puissance $n$-ième tend vers $+\infty$ ; en multipliant par la constante $\dfrac1{n^n}>0$, on obtient $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$.
Étape 4 : en $+\infty$. Pour $x>0$, $x^ne^{-x}=\dfrac{1}{e^x/x^n}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0$.
Étape 5 : en $-\infty$. On pose $X=-x$. Alors $x^ne^x=(-X)^ne^{-X}=(-1)^nX^ne^{-X}$. Quand $x\to-\infty$, $X\to+\infty$ et $X^ne^{-X}\to0$ d'après l'étape 4. Donc $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.
Interprétation et prolongements
On retient : en l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$. Le résultat s'étend aux polynômes : par exemple $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3+2x}=+\infty$ (factoriser le dénominateur par $x^3$).
Les croissances comparées faisant intervenir le logarithme népérien sont traitées dans le chapitre consacré à la fonction $\ln$.
Utiliser les croissances comparées
- On vérifie qu'on est face à une forme indéterminée (sinon les opérations suffisent).
- On factorise par le terme dominant, en général $e^x$ en $+\infty$, de façon à faire apparaître $\dfrac{x^n}{e^x}$ ou $\dfrac{e^x}{x^n}$, ou $x^ne^x$ en $-\infty$.
- On cite les croissances comparées pour ces termes, puis on conclut par opérations.
- Si l'exponentielle est de la forme $e^{kx}$, on se ramène au cas de référence par un changement de variable $X=kx$.
Exemples de calculs
1. $\lim_{x\to+\infty}(e^x-x^3)$ : forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$, $e^x-x^3=x^3\left(\dfrac{e^x}{x^3}-1\right)$. Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty$, donc la parenthèse tend vers $+\infty$ ; avec $x^3\to+\infty$, la limite est $+\infty$.
2. $\lim_{x\to+\infty}(x^2+1)e^{-x}$ : forme $\infty\times0$. On développe : $x^2e^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées $x^2e^{-x}\to0$, et $e^{-x}\to0$. La limite est $0$.
3. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x}{e^x-x^2}$ : forme $\frac\infty\infty$. On factorise par $e^x$ : $$\frac{e^x\left(1+\frac{x}{e^x}\right)}{e^x\left(1-\frac{x^2}{e^x}\right)}=\frac{1+xe^{-x}}{1-x^2e^{-x}}.$$ Par croissances comparées, $xe^{-x}\to0$ et $x^2e^{-x}\to0$ : la limite est $\dfrac11=1$.
4. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{x}$. On écrit $\dfrac{e^{2x}}{x}=2\times\dfrac{e^{2x}}{2x}$ et on pose $X=2x\to+\infty$. Comme $\dfrac{e^X}{X}\to+\infty$, par composition la limite est $+\infty$.
5. $\lim_{x\to-\infty}(x-3)e^x$. On développe : $xe^x-3e^x$. Par croissances comparées $xe^x\to0$, et $e^x\to0$ en $-\infty$. La limite est $0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.
Ne pas voir des formes indéterminées partout
$\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}$ n'est pas une forme indéterminée : $x^2\to+\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$, donc le produit tend vers $+\infty$. De même, $\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty$ directement par produit. Les croissances comparées ne servent que lorsque les règles d'opérations ne concluent pas.
Démarche générale face à une limite
- On identifie le point étudié ($a$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$) et, en un réel, le côté (gauche ou droite).
- On tente les règles d'opérations sur les fonctions de référence.
- En cas de forme indéterminée, on choisit l'outil adapté :
- polynôme, fonction rationnelle en l'infini : factorisation par le terme de plus haut degré ;
- différence de racines : quantité conjuguée ;
- quotient du type $\frac00$ en $a$ : simplification ou nombre dérivé ;
- présence de $\sin$ ou $\cos$ : comparaison ou encadrement ;
- mélange d'exponentielle et de puissances : factorisation par le terme dominant et croissances comparées.
- Pour une expression de la forme $v(u(x))$, on utilise le théorème de composition.
- On interprète graphiquement le résultat (asymptote horizontale ou verticale).