Résoudre un problème d'optimisation : méthode (Première spé)

On veut construire un enclos rectangulaire d'aire $16$ m² en utilisant le moins de grillage possible.

Variable : la longueur $x$ en mètres, avec $x\in\,]0\,;+\infty[$. La largeur vaut $\frac{16}{x}$ et le périmètre $$P(x)=2\left(x+\frac{16}{x}\right)=2x+\frac{32}{x}.$$ $P$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $$P'(x)=2-\frac{32}{x^2}=\frac{2x^2-32}{x^2}=\frac{2(x-4)(x+4)}{x^2}.$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x+4>0$ et $x^2>0$, donc $P'(x)$ est du signe de $x-4$.

Avec $P(4)=8+\frac{32}{4}=16$. Le périmètre est minimal pour $x=4$ : l'enclos est un carré de $4$ m de côté et il faut $16$ m de grillage.

Dans une plaque carrée de carton de $30$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. On cherche le volume maximal.

Variable : $x\in\,]0\,;15[$, car il faut $30-2x>0$. La base est un carré de côté $30-2x$ et la hauteur vaut $x$ : $$V(x)=x(30-2x)^2.$$ C'est un produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, et $v(x)=(30-2x)^2=g(-2x+30)$ où $g(X)=X^2$ : $v'(x)=-2\times 2(30-2x)=-4(30-2x)$. Donc $$V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)\big[(30-2x)-4x\big]=(30-2x)(30-6x).$$ Comme $30-2x=2(15-x)$ et $30-6x=6(5-x)$, on obtient $V'(x)=12(15-x)(5-x)$. Sur $]0\,;15[$, $15-x>0$, donc $V'(x)$ est du signe de $5-x$.

Avec $V(5)=5\times 20^2=2000$. Le volume est maximal lorsqu'on découpe des carrés de $5$ cm de côté ; il vaut alors $2000$ cm³, soit $2$ L.