Soit $f$ la fonction carré et $\mathcal{P}$ sa courbe dans un repère.
- Soit $a$ un réel. Montrer que la tangente $T_a$ à $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=2ax-a^2$.
- On considère le point $P(1\,;-3)$. Déterminer toutes les tangentes à $\mathcal{P}$ qui passent par $P$. Préciser les points de contact.
- On considère le point $Q(1\,;2)$. Existe-t-il une tangente à $\mathcal{P}$ passant par $Q$ ? Interpréter en comparant la position de $Q$ et de $\mathcal{P}$.
Écrire $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $f'(a)=2a$.
$P$ appartient à $T_a$ si ses coordonnées vérifient l'équation de $T_a$ : on obtient une équation d'inconnue $a$.
Pour $Q$, calculer le discriminant de l'équation obtenue.
1. $f(a)=a^2$ et $f'(a)=2a$. La tangente $T_a$ a pour équation $y=2a(x-a)+a^2=2ax-2a^2+a^2$, soit $$y=2ax-a^2.$$
2. $P(1\,;-3)$ appartient à $T_a$ si et seulement si $-3=2a\times 1-a^2$, c'est-à-dire $a^2-2a-3=0$. Le discriminant vaut $\Delta=4+12=16$, d'où les racines $a=\frac{2-4}{2}=-1$ et $a=\frac{2+4}{2}=3$.
- Pour $a=-1$ : $T_{-1}: y=-2x-1$, point de contact $(-1\,;1)$.
- Pour $a=3$ : $T_3: y=6x-9$, point de contact $(3\,;9)$.
Contrôle : $-2\times 1-1=-3$ et $6\times 1-9=-3$. Il y a exactement deux tangentes passant par $P$.
3. $Q(1\,;2)$ appartient à $T_a$ si et seulement si $2=2a-a^2$, c'est-à-dire $a^2-2a+2=0$. Le discriminant vaut $\Delta=4-8=-4<0$ : aucune solution. Aucune tangente à $\mathcal{P}$ ne passe par $Q$.
Interprétation : le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $1$ a pour ordonnée $1$. Le point $Q$ est au-dessus de la parabole ($2>1$), dans la région « intérieure » de la parabole tournée vers le haut, tandis que $P$ est en dessous ($-3<1$). D'un point situé sous la parabole partent deux tangentes, d'un point situé au-dessus aucune.
Par $P$ : $y=-2x-1$ et $y=6x-9$ ; par $Q$ : aucune tangente