Exercice corrigé : Rectangle d'aire maximale sous une parabole

Dans un repère orthonormé, $\mathcal{P}$ est la parabole d'équation $y=12-x^2$. Pour un réel $x$ de $]0\,;2\sqrt{3}[$, on considère les points $M(x\,;0)$, $N(x\,;12-x^2)$, $N'(-x\,;12-x^2)$ et $M'(-x\,;0)$. Le quadrilatère $MNN'M'$ est un rectangle.

1. Justifier que, pour $x\in\,]0\,;2\sqrt{3}[$, le point $N$ est au-dessus de l'axe des abscisses.
2. Montrer que l'aire du rectangle vaut $A(x)=24x-2x^3$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;2\sqrt{3}[$.
4. Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle maximale ? Donner cette aire et les dimensions du rectangle.