Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;5]$ par $f(x)=\frac{x^2+3}{x+1}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère.
- a) Calculer $f(0)$ et $f(5)$. b) Vérifier que, pour tout $x\in[0\,;5]$, $f(x)=x-1+\frac{4}{x+1}$.
- a) Montrer que, pour tout $x\in[0\,;5]$, $f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}$. On pourra utiliser la forme de la question 1.b. b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;5]$. c) Donner le minimum et le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$.
- Existe-t-il des points de $\mathcal{C}_f$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=\frac{1}{2}x$ ? Si oui, donner leur abscisse exacte.
Pour 1.b, réduire $x-1+\frac{4}{x+1}$ au même dénominateur.
La dérivée de $x\mapsto\frac{4}{x+1}$ s'obtient avec $g(ax+b)$ où $g(X)=\frac{1}{X}$.
Sur $[0\,;5]$, $x+3$ et $(x+1)^2$ sont strictement positifs.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
1. a) $f(0)=\frac{3}{1}=3$ et $f(5)=\frac{25+3}{6}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}$.
b) Pour $x\in[0\,;5]$, $x+1\neq 0$ et $$x-1+\frac{4}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)+4}{x+1}=\frac{x^2-1+4}{x+1}=\frac{x^2+3}{x+1}=f(x).$$
2. a) $x\mapsto x-1$ a pour dérivée $1$. La fonction $x\mapsto\frac{4}{x+1}$ s'écrit $4g(x+1)$ avec $g(X)=\frac{1}{X}$, $g'(X)=-\frac{1}{X^2}$ et $a=1$ : sa dérivée est $-\frac{4}{(x+1)^2}$. Donc $$f'(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1-2)(x+1+2)}{(x+1)^2}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.$$
b) Sur $[0\,;5]$, $x+3>0$ et $(x+1)^2>0$ : $f'(x)$ est du signe de $x-1$. De plus $f(1)=\frac{4}{2}=2$.
| $x$ | $0$ | $1$ | $5$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| variations de $f$ | $3$ | ↘ | $2$ | ↗ | $\frac{14}{3}$ |
c) Le minimum de $f$ sur $[0\,;5]$ est $2$, atteint en $1$. Le maximum est le plus grand des nombres $f(0)=3$ et $f(5)=\frac{14}{3}$ ; comme $\frac{14}{3}>\frac{9}{3}=3$, le maximum est $\frac{14}{3}$, atteint en $5$.
3. $f(3)=\frac{12}{4}=3$ et $f'(3)=\frac{6\times 2}{4^2}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$. Donc $T$ a pour équation $y=\frac{3}{4}(x-3)+3=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}+\frac{12}{4}$, soit $$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}.$$
4. La tangente au point d'abscisse $x$ est parallèle à $\Delta$ si et seulement si $f'(x)=\frac{1}{2}$. Pour $x\in[0\,;5]$, comme $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$ : $$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\frac{1}{2}\iff 2x^2+4x-6=x^2+2x+1\iff x^2+2x-7=0.$$ Le discriminant vaut $\Delta=4+28=32$, et $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Les solutions sont $x=\frac{-2-4\sqrt{2}}{2}=-1-2\sqrt{2}$ et $x=-1+2\sqrt{2}$.
$-1-2\sqrt{2}<0$ n'appartient pas à $[0\,;5]$. Comme $2<2\sqrt{2}<3$ (car $4<8<9$), on a $1<-1+2\sqrt{2}<2$ : ce nombre appartient à $[0\,;5]$.
Il existe donc un seul point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à $\Delta$ : celui d'abscisse $-1+2\sqrt{2}$.
Min $2$ en $1$, max $\frac{14}{3}$ en $5$ ; $T : y=\frac34x+\frac34$ ; abscisse $-1+2\sqrt{2}$