Exercice corrigé : Type épreuve : bénéfice maximal d'une entreprise

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut produire entre $0$ et $10$ tonnes par semaine. Le coût total de production de $x$ tonnes, en milliers d'euros, est $$C(x)=x^3-15x^2+78x+20,\qquad x\in[0\,;10].$$ Toute la production est vendue, au prix de $30$ milliers d'euros la tonne.

1. a) Calculer $C(0)$ et interpréter. b) Montrer que $C$ est strictement croissante sur $[0\,;10]$.
2. Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x)=-x^3+15x^2-48x-20$.
3. a) Montrer que $B'(x)=-3(x-2)(x-8)$. b) Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;10]$.
4. Quelle quantité faut-il produire pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
5. a) Vérifier que $B(x)=(10-x)(x^2-5x-2)$. b) Déterminer les quantités produites pour lesquelles le bénéfice est strictement positif. Donner la borne inférieure exacte, puis une valeur approchée au centième.
6. Le coût marginal est assimilé à $C'(x)$. Calculer $C'(8)$ et comparer au prix de vente. Expliquer ce résultat à l'aide de la question 4.