Condition suffisante : énoncé (MP)
Condition suffisante
Si $\chi_u$ est scindé à racines simples, c'est-à-dire si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes, alors $u$ est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite.
Démonstration : Condition suffisante
Preuve
Les $n$ valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ vérifient $\dim E_{\lambda_i}(u)\geq 1$, donc $\sum_i\dim E_{\lambda_i}(u)\geq n$. Cette somme est aussi $\leq n$, car la somme des $E_{\lambda_i}(u)$ est directe dans $E$. D'où l'égalité, qui donne la diagonalisabilité, et chaque dimension vaut $1$.
Ni nécessaire, ni « scindé » suffit
La condition précédente n'est pas nécessaire : $I_n$ est diagonale, donc diagonalisable, et n'a qu'une valeur propre. Et « $\chi_u$ scindé » ne suffit pas : $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ a un polynôme caractéristique scindé et n'est pas diagonalisable.
S’entraîner
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
- Diagonalisabilité d'une matrice triangulaire à paramètres