Recoller des solutions : méthode (MPSI)
Recoller des solutions
Pour résoudre $\alpha(x)y'+\beta(x)y=\gamma(x)$ sur un intervalle $J$ contenant un point $x_0$ où $\alpha$ s'annule :
- Résoudre sur chaque intervalle où $\alpha\neq0$ (constantes indépendantes sur chaque intervalle).
- Analyse : une solution sur $J$ est, sur chaque morceau, de la forme trouvée. Écrire les conditions de continuité en $x_0$ et de dérivabilité en $x_0$ (limite du taux d'accroissement).
- Synthèse : vérifier que les fonctions obtenues sont dérivables sur $J$ et satisfont l'équation aussi au point $x_0$.
Résolution de $xy'-2y=0$ sur $\mathbb{R}$
Sur $]0,+\infty[$ : l'équation équivaut à $y'-\dfrac2xy=0$, de primitive $A(x)=-2\ln x$, donc $y=\lambda x^2$. Sur $]-\infty,0[$ : de même avec $A(x)=-2\ln|x|$, $y=\mu x^2$.
Analyse. Une solution $y$ sur $\mathbb{R}$ vérifie $y(x)=\lambda x^2$ pour $x>0$ et $y(x)=\mu x^2$ pour $x<0$ ; par continuité en $0$, $y(0)=0$.
Synthèse. Soit $y$ définie ainsi avec $y(0)=0$. Le taux d'accroissement $\dfrac{y(x)-y(0)}{x}$ vaut $\lambda x$ ou $\mu x$, qui tend vers $0$ : $y$ est dérivable en $0$ avec $y'(0)=0$, et $0\cdot y'(0)-2y(0)=0$.
Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont donc les fonctions $$y(x)=\begin{cases}\lambda x^2 & \text{si } x\geqslant0\\ \mu x^2 & \text{si } x<0\end{cases},\qquad(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2.$$ L'ensemble des solutions est un plan vectoriel, et non une droite. La condition $y(0)=0$ est satisfaite par une infinité de solutions, la condition $y(0)=1$ par aucune : le théorème de Cauchy ne s'applique pas en un point où le coefficient de $y'$ s'annule.
Un raccordement impossible
Pour $xy'+y=0$, les solutions sur $]0,+\infty[$ et sur $]-\infty,0[$ sont de la forme $x\mapsto\dfrac{c}{x}$. Une telle fonction n'a une limite finie en $0$ que si $c=0$. La seule solution sur $\mathbb{R}$ est la fonction nulle.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Racine simple, polynôme de degré 1 et comportement en $-\infty$
- Raccordement en un point singulier
- Oscillateur amorti forcé et résonance en amplitude
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Recoller des solutions