Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle indiqué (solutions à valeurs réelles).
a) $y'=3y$ sur $\mathbb{R}$.
b) $(1+x^2)y'+2xy=0$ sur $\mathbb{R}$.
c) $y'+\tan(x)\,y=0$ sur $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$.
Mettre chaque équation sous la forme $y'+a(x)y=0$ et repérer la fonction $a$.
Pour b), diviser par $1+x^2$, qui ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ ; la fonction $a$ obtenue est de la forme $u'/u$.
Pour c), écrire $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ et utiliser $\cos x>0$ sur l'intervalle.
a) L'équation s'écrit $y'-3y=0$ : c'est la forme $y'+a(x)y=0$ avec $a(x)=-3$, continue sur $\mathbb{R}$. Une primitive est $A(x)=-3x$, donc les solutions sont les fonctions $x\mapsto\lambda e^{-A(x)}=\lambda e^{3x}$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Vérification : $(\lambda e^{3x})'=3\lambda e^{3x}$.
b) Pour tout réel $x$, $1+x^2>0$, donc l'équation équivaut sur $\mathbb{R}$ à $$y'+\frac{2x}{1+x^2}\,y=0.$$ La fonction $a(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et admet la primitive $A(x)=\ln(1+x^2)$. Donc $e^{-A(x)}=\dfrac{1}{1+x^2}$ et les solutions sont les fonctions $x\mapsto\dfrac{\lambda}{1+x^2}$, $\lambda\in\mathbb{R}$.
Vérification : si $y=\dfrac{\lambda}{1+x^2}$, alors $y'=-\dfrac{2\lambda x}{(1+x^2)^2}$ et $(1+x^2)y'+2xy=-\dfrac{2\lambda x}{1+x^2}+\dfrac{2\lambda x}{1+x^2}=0$.
c) La fonction $\tan$ est continue sur $I=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ et $\cos x>0$ sur $I$. Comme $\tan x=-\dfrac{(\cos)'(x)}{\cos x}$, une primitive de $\tan$ sur $I$ est $A(x)=-\ln(\cos x)$. Donc $e^{-A(x)}=e^{\ln(\cos x)}=\cos x$ et les solutions sont les fonctions $x\mapsto\lambda\cos x$, $\lambda\in\mathbb{R}$.
Vérification : $(\lambda\cos x)'+\tan x\cdot\lambda\cos x=-\lambda\sin x+\lambda\sin x=0$.
a) $\lambda e^{3x}$ ; b) $\dfrac{\lambda}{1+x^2}$ ; c) $\lambda\cos x$, avec $\lambda\in\mathbb{R}$