Combinaison linéaire : définition (MPSI)
Combinaison linéaire
Soit $(x_1,\ldots,x_p)$ une famille finie de vecteurs de $E$. Une combinaison linéaire de cette famille est un vecteur de la forme
$$\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_px_p=\sum_{i=1}^{p}\lambda_ix_i,\qquad (\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p.$$
Pour une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$, une combinaison linéaire est une somme $\sum_{i\in I}\lambda_ix_i$ où la famille de scalaires $(\lambda_i)_{i\in I}$ est presque nulle : seul un nombre fini de $\lambda_i$ sont non nuls. La somme est donc toujours finie.
En pratique
On ne vérifie presque jamais les axiomes à la main. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, on montre qu'il est un sous-espace vectoriel d'un espace de référence (section suivante).
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Combinaison linéaire