Espace vectoriel : définition (MPSI)

Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un ensemble $E$ muni :

• d'une loi interne $+$ telle que $(E,+)$ soit un groupe abélien, de neutre noté $0_E$ ;
• d'une loi externe $\mathbb{K}\times E\to E$, $(\lambda,x)\mapsto \lambda\cdot x$,

telles que, pour tous $x,y\in E$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ :

$$\begin{aligned} &\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y, && (\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x,\\ &\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\mu)\cdot x, && 1\cdot x=x. \end{aligned}$$

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs.