Calculer un noyauCalculer une imageÉtudier injectivité et surjectivité
Soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z)=(x-y+2z,\ 2x+y+z)$.
- Montrer que $f$ est linéaire.
- Déterminer $\ker f$. L'application $f$ est-elle injective ?
- Déterminer $\operatorname{Im} f$. L'application $f$ est-elle surjective ?
Indice 1
Pour le noyau, additionner les deux équations élimine $y$.
Indice 2
$\operatorname{Im} f$ est engendrée par $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$. Pour montrer qu'elle vaut $\mathbb{R}^2$, résoudre $\alpha f(e_1)+\beta f(e_2)=(a,b)$.
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