Combinaison linéaire : définition (Terminale spé)
Combinaison linéaire
Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
De même, $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n$ s'il existe des réels $a_1, \dots, a_n$ tels que $\vec{w} = a_1\vec{u}_1 + \dots + a_n\vec{u}_n$.
Calculs dans un cube
On considère un cube $ABCDEFGH$ : la face $ABCD$ est en bas, la face $EFGH$ en haut, et les arêtes verticales sont $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$.
Simplifions $\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{CG}$.
La face $BCGF$ est un carré, donc $\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC}$. Alors : $$\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}.$$
De la même façon, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ : le vecteur diagonal du cube est combinaison linéaire des trois arêtes issues de $A$.
S’entraîner
- Sommes de vecteurs dans un cube
- Alignement, milieu et parallélogramme en coordonnées
- Représentation paramétrique et appartenance
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Combinaison linéaire