Inverser un conditionnement : méthode (MPSI)

Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test est positif chez $99\,\%$ des malades et chez $2\,\%$ des personnes saines. On teste une personne au hasard. Soit $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ».

Données : $P(M)=0{,}01$, $P_M(T)=0{,}99$, $P_{\overline{M}}(T)=0{,}02$.

Probabilités totales sur $(M,\overline{M})$ : $$P(T)=0{,}01\times0{,}99+0{,}99\times0{,}02=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297.$$ Formule de Bayes : $$P_T(M)=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac{1}{3}.$$ Un test positif ne donne qu'une chance sur trois d'être malade : la maladie est rare, et les faux positifs, issus des $99\,\%$ de personnes saines, sont deux fois plus nombreux que les vrais positifs.

Chaque jour, le temps est beau ou mauvais. S'il fait beau un jour, il fait beau le lendemain avec probabilité $0{,}8$ ; s'il fait mauvais, il fait beau le lendemain avec probabilité $0{,}4$. On note $p_n$ la probabilité qu'il fasse beau le jour $n$ (on travaille sur un nombre fini de jours $N$, ce qui permet de rester dans un univers fini).

Soit $E_n$ : « il fait beau le jour $n$ ». La formule des probabilités totales appliquée au système complet $(E_n,\overline{E_n})$ donne (si $0<p_n<1$, et dans tous les cas avec la convention précédente) : $$p_{n+1}=0{,}8\,p_n+0{,}4\,(1-p_n)=0{,}4\,p_n+0{,}4.$$ C'est une suite arithmético-géométrique. Le point fixe $\ell$ vérifie $\ell=0{,}4\ell+0{,}4$, soit $\ell=\frac{2}{3}$. Alors $p_{n+1}-\frac{2}{3}=0{,}4\left(p_n-\frac{2}{3}\right)$, donc $$p_n=\frac{2}{3}+\left(p_0-\frac{2}{3}\right)0{,}4^{\,n}.$$ Ce schéma « probabilités totales sur l'état de l'étape $n$ » est un classique des sujets de concours.