Prépa, 1re année › Probabilités sur un univers fini › Formule de Bayes
Formule de Bayes : énoncé (MPSI)
Théorème
Formule de Bayes
Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. Alors $$P_B(A)=\frac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}.$$ Si $(A_1,\dots,A_n)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles et si $P(B)>0$, alors pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$ : $$P_B(A_j)=\frac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{\displaystyle\sum_{i=1}^nP(A_i)\,P_{A_i}(B)}.$$
Démonstration : Formule de Bayes
Démonstration
Preuve
Par définition puis par la formule des probabilités composées, $$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}.$$ Pour la seconde forme, on applique ceci à $A=A_j$ et on remplace $P(B)$ par son expression donnée par la formule des probabilités totales sur le système complet $(A_1,\dots,A_n)$.
S’entraîner
- Réunion, intersection et indépendance à partir de trois données
- Pièces défectueuses et trois machines
- Rang de la première boule blanche
- Fiabilité d'un montage série-parallèle
- Une urne qui renforce la couleur tirée