Formule des probabilités totales : énoncé (MPSI)
Formule des probabilités totales
Soit $(A_1,\dots,A_n)$ un système complet d'événements. Pour tout événement $B$ : $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(B\cap A_i).$$ Si de plus $P(A_i)>0$ pour tout $i$ : $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\,P_{A_i}(B).$$ Cas particulier avec le système complet $(A,\overline{A})$, où $0<P(A)<1$ : $$P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B).$$
Démonstration : Formule des probabilités totales
Preuve
Comme $\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$, on a $B=B\cap\Omega=\bigcup_{i=1}^n(B\cap A_i)$. Les événements $B\cap A_i$ sont deux à deux incompatibles car $(B\cap A_i)\cap(B\cap A_j)\subset A_i\cap A_j=\emptyset$ pour $i\neq j$. Par additivité, $$P(B)=\sum_{i=1}^nP(B\cap A_i).$$ Si $P(A_i)>0$, la formule des probabilités composées donne $P(B\cap A_i)=P(A_i)P_{A_i}(B)$, d'où la seconde forme.
Cas d'un événement de probabilité nulle
Si certains $A_i$ sont de probabilité nulle, $P_{A_i}(B)$ n'est pas défini. On convient alors que le terme $P(A_i)P_{A_i}(B)$ vaut $0$, ce qui est cohérent puisque $P(B\cap A_i)\leqslant P(A_i)=0$. La formule reste vraie avec cette convention.
Deux urnes
L'urne $U_1$ contient $2$ boules blanches et $3$ noires, l'urne $U_2$ contient $4$ blanches et $1$ noire. On choisit $U_1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ et $U_2$ avec probabilité $\frac{2}{3}$, puis on tire une boule dans l'urne choisie. Soit $B$ : « la boule est blanche ».
$(U_1,U_2)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles. Par la formule des probabilités totales : $$P(B)=P(U_1)P_{U_1}(B)+P(U_2)P_{U_2}(B)=\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{2}{15}+\frac{8}{15}=\frac{2}{3}.$$
S’entraîner
- Réunion, intersection et indépendance à partir de trois données
- Probabilité définie par une distribution
- Pièces défectueuses et trois machines
- Rang de la première boule blanche
- Fiabilité d'un montage série-parallèle
Dans le cours
Probabilités sur un univers fini : Formule des probabilités totales