Factorisation de $a^n+b^n$ pour $n$ impair : énoncé (MPSI)
Factorisation de $a^n+b^n$ pour $n$ impair
Si $n$ est impair, $(-b)^n = -b^n$, donc $a^n+b^n = a^n - (-b)^n$. Le théorème appliqué à $a$ et $-b$ donne $$a^n + b^n = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}a^k b^{n-1-k} = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^k b^{n-1-k},$$ car $n-1$ est pair, donc $(-1)^{n-1-k} = (-1)^k$.
Pour $n=3$ : $a^3+b^3 = (a+b)(b^2 - ab + a^2)$.
Si $n$ est pair, $a^n+b^n$ n'admet pas en général de facteur $a+b$ : par exemple $a^2+b^2$ ne s'annule pas en $a=-b$ lorsque $b\neq0$.
Application à la divisibilité
Montrons que pour tout $m\in\mathbb{N}^*$, $7$ divise $2^{3m}-1$.
On écrit $2^{3m}-1 = 8^m - 1^m$. Par le théorème, $$8^m-1^m = (8-1)\sum_{k=0}^{m-1}8^k = 7\sum_{k=0}^{m-1}8^k.$$ La somme est un entier, donc $7$ divise $2^{3m}-1$. Pour $m=2$ : $2^6-1 = 63 = 7\times 9$.
Plus généralement, si $a$ et $b$ sont des entiers, $a-b$ divise $a^n-b^n$ pour tout $n\geqslant1$.
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