Factorisation de $a^n-b^n$Factorisation de $a^n+b^n$ pour $n$ impairDivisibilité
- Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7$ divise $9^n-2^n$.
- En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7$ divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.
- Montrer que si $n$ est un entier naturel impair, $3$ divise $2^n+1$.
Indice 1
Appliquer la factorisation de $a^n-b^n$ avec $a=9$ et $b=2$ ; traiter $n=0$ à part.
Indice 2
Écrire $3^{2n+1}=3\times9^n$ et $2^{n+2}=4\times2^n$, puis faire apparaître $9^n-2^n$.
Indice 3
Pour $n$ impair, écrire $1=-(-1)^n$.
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