Formule du binômeSéparation des indices pairs et impairs
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On note $P_n=\sum_{0\leqslant 2p\leqslant n}\binom{n}{2p}$ la somme des $\binom nk$ pour $k$ pair dans $[\![0,n]\!]$, et $I_n=\sum_{0\leqslant 2p+1\leqslant n}\binom{n}{2p+1}$ celle des $\binom nk$ pour $k$ impair.
- Calculer $P_n+I_n$ et $P_n-I_n$. En déduire $P_n$ et $I_n$.
- Vérifier le résultat pour $n=4$.
- Pour $x\in\mathbb{R}$, exprimer $(1+x)^n+(1-x)^n$ à l'aide des $\binom{n}{2p}$. En déduire $Q_n=\sum_{0\leqslant 2p\leqslant n}\binom{n}{2p}9^p$.
Indice 1
Utiliser les deux conséquences de la formule du binôme : $\sum\binom nk$ et $\sum(-1)^k\binom nk$.
Indice 2
Dans $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk$, les termes d'indice pair comptent avec un signe $+$, ceux d'indice impair avec un signe $-$.
Indice 3
Pour la question 3, $1+(-1)^k$ vaut $2$ si $k$ est pair et $0$ si $k$ est impair ; puis choisir $x$ pour que $x^{2p}=9^p$.
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