Erreurs fréquentes : Intégration sur un intervalle quelconque (Prépa, 2e année)
Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).
N'étudier que la borne « visible » : conclure que $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{\sqrt t(1+t)}$ converge en ne regardant que $+\infty$.
Lister tous les points à problème (ici $0$ et $+\infty$), couper l'intervalle et conclure seulement si chaque morceau converge.
Écrire $\int_{-\infty}^{+\infty}f=\lim_{x\to+\infty}\int_{-x}^xf$.
Les deux bornes se traitent séparément : $\int_{-\infty}^{+\infty}t\,\mathrm dt$ diverge alors que $\int_{-x}^xt\,\mathrm dt=0$.
Utiliser un équivalent pour une fonction qui change de signe : « $\frac{\sin t}{t}$, donc on compare à… ».
Les théorèmes de comparaison exigent une fonction positive (ou de signe constant). Sinon : étudier $|f|$, ou faire une intégration par parties.
Intégrer par parties directement sur $[0,+\infty[$ en écrivant un crochet ou une intégrale qui divergent.
Faire l'intégration par parties sur un segment $[x,y]$, puis passer à la limite en justifiant chaque terme.
Inverser les conditions de Riemann : « $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{t^2}$ converge car $2>1$ ».
En $+\infty$ : convergence si et seulement si $\alpha>1$. En $0$ : si et seulement si $\alpha<1$. $\frac1t$ ne convient ni en $0$ ni en $+\infty$.
Croire qu'une fonction intégrable sur $[0,+\infty[$ tend forcément vers $0$, par analogie avec les séries.
C'est faux (fonction en pics). Ce qui est vrai : si $f$ est intégrable et a une limite, cette limite est nulle ; si $f$ et $f'$ sont intégrables, $f\to0$.