QCM : Intégration sur un intervalle quelconque (Prépa, 2e année)
Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).
Pour quelles valeurs de $\alpha$ l'intégrale $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge-t-elle ?
En $0$, il faut $\alpha<1$ : $\int_x^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}=\frac{1-x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ a une limite finie si et seulement si $1-\alpha>0$. Le cas $\alpha=1$ donne $-\ln x\to+\infty$. En $+\infty$, c'est l'inverse : $\alpha>1$.
L'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t}{1+t^2}\,\mathrm dt$ :
$\int_0^x\frac t{1+t^2}\,\mathrm dt=\frac12\ln(1+x^2)\to+\infty$ : l'intégrale diverge en $+\infty$. L'argument d'imparité suppose la convergence de chaque moitié ; $\int_{-x}^x=0$ ne suffit pas.
La fonction $t\mapsto\frac{\ln t}{t^2}$ sur $[1,+\infty[$ :
$t^{3/2}\cdot\frac{\ln t}{t^2}=\frac{\ln t}{\sqrt t}\to0$. L'équivalent proposé en troisième est faux : le quotient $\frac{\ln t}{t^2}\big/\frac1{t^2}=\ln t$ tend vers $+\infty$. La dernière minoration est vraie pour $t\ge e$, mais ne prouve rien puisque $\frac1{t^2}$ est intégrable.
Laquelle de ces intégrales converge ?
En $0$ : $\frac1{\sin t}\sim\frac1t$ (diverge), $\frac1{1-\cos t}\sim\frac2{t^2}$ (diverge), $\frac1{\sqrt{\tan t}}\sim\frac1{\sqrt t}$ (converge), $\frac1{t-t^2}\sim\frac1t$ (diverge).
Si $f$ est continue et intégrable sur $[0,+\infty[$, alors :
Une fonction en pics de plus en plus hauts et fins est intégrable sans être bornée ni tendre vers $0$, même le long des entiers. Seule la troisième affirmation est vraie : une limite $\ell\ne0$ rendrait $|f|\ge\frac{|\ell|}2$ au voisinage de $+\infty$.
$\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ :
En $0$, la fonction tend vers $1$. En $+\infty$, une intégration par parties donne la convergence, et la minoration $|\sin t|\ge\sin^2t$ montre que $\frac{|\sin t|}t$ n'est pas intégrable. Sa valeur est $\frac\pi2$.
Que vaut $\int_0^{+\infty}t^3e^{-t}\,\mathrm dt$ ?
$\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\mathrm dt=n!=\Gamma(n+1)$ ; ici $3!=6$.
On veut intégrer par parties $\int_0^{+\infty}u'v$. Quelle précaution suffit ?
C'est l'énoncé du programme. Le plus sûr reste de travailler sur un segment $[x,y]$ et de passer à la limite.
Un équivalent de $\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^3+1}$ quand $x\to+\infty$ est :
$\frac1{t^3+1}\sim\frac1{t^3}$, positive et intégrable : les restes sont équivalents, et $\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^3}=\frac1{2x^2}$.
Le changement de variable $u=e^t$ dans $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{e^t+e^{-t}}$ donne :
$\mathrm dt=\frac{\mathrm du}u$ et $e^t+e^{-t}=u+\frac1u$, d'où $\frac{\mathrm du}{u^2+1}$. La borne $t=0$ devient $u=1$. L'intégrale vaut $\frac\pi4$.