Fiche résumé : Intégration sur un intervalle quelconque (Prépa, 2e année)

Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).

Convergence sur $[a,b[$ : $\int_a^xf$ a une limite finie en $b$. Sur $]a,b[$ : couper en $c$, chaque borne séparément.
Faussement impropre : $b$ fini et $f$ a une limite finie en $b$ $\Rightarrow$ convergence.
Riemann : $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge $\iff\alpha>1$ ; $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge $\iff\alpha<1$ ; même chose en une borne finie avec $(b-t)^\alpha$.
Références : $\int_0^{+\infty}e^{-at}=\frac1a$ ($a>0$), $\int_0^1\ln t=-1$, $\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}=n!$, $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}=\frac{\sqrt\pi}2$, $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t=\frac\pi2$ (semi-convergente).
Fonctions positives : convergence $\iff$ intégrales partielles majorées ; comparaison par $\le$, $O$, $\sim$.
Intégrable : $\int|f|$ converge $\Rightarrow\int f$ converge et $\left|\int f\right|\le\int|f|$.
Bertrand : $\int^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ converge $\iff\alpha>1$ ou ($\alpha=1$ et $\beta>1$).
IPP : si $uv$ a des limites finies aux bornes, $\int u'v$ et $\int uv'$ de même nature. Rédiger sur $[x,y]$.
Changement de variable : bijection $\mathcal C^1$ strictement monotone entre intervalles ouverts.
Intégration des relations de comparaison ($g\ge0$) : $g$ intégrable $\Rightarrow$ comparer les restes $\int_x^b$ ; $g$ non intégrable $\Rightarrow$ comparer les intégrales partielles $\int_a^x$.
Équivalents à connaître : $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\sim\frac{e^{-x^2}}{2x}$ ; $\int_2^x\frac{\mathrm dt}{\ln t}\sim\frac x{\ln x}$.
Wallis : $W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n$, $W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n$, $W_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$.