Test de niveau : Intégration sur un intervalle quelconque (Prépa, 2e année)
Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).
12 questions, environ 15 minutes, sans calculatrice ni cours. Réponds honnêtement : le test sert à savoir par où commencer. Le résultat est donné bloc par bloc, avec le chapitre de première année à reprendre si un bloc coince.
Intégration sur un segment
Que vaut $\int_0^1te^t\,\mathrm dt$ ?
Par parties : $\int_0^1te^t\,\mathrm dt=\left[te^t\right]_0^1-\int_0^1e^t\,\mathrm dt=e-(e-1)=1$.
Que vaut $\int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,\mathrm dt$ ?
Forme $\frac12\cdot\frac{u'}u$ avec $u=1+t^2$ : $\left[\frac12\ln(1+t^2)\right]_0^1=\frac{\ln2}2$. La réponse $\frac\pi4$ est $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{1+t^2}$.
$f$ est continue et positive sur $[a,b]$ ($a<b$), et $\int_a^bf=0$. Alors :
Si $f(x_0)>0$, par continuité $f\ge\frac{f(x_0)}2$ sur un petit intervalle, et l'intégrale serait strictement positive. La continuité est essentielle : une fonction en escalier nulle sauf en un point a une intégrale nulle.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, la fonction $F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$ est :
C'est le théorème fondamental de l'analyse : $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
Une primitive de $\ln$ sur $]0,+\infty[$ est :
Par parties, ou en dérivant : $(t\ln t-t)'=\ln t+1-1=\ln t$. $\frac{(\ln t)^2}2$ est une primitive de $\frac{\ln t}t$.
Si ce bloc te pose problème : revoir Intégration sur un segment
Équivalents et croissances comparées
Quand $t\to0^+$, $\sqrt t\,\ln t$ :
Croissances comparées : $t^a|\ln t|^b\to0$ en $0^+$ pour tous $a>0$, $b>0$.
Un équivalent de $\frac{t^2+1}{t^4+t}$ quand $t\to+\infty$ est :
Quotient des termes de plus haut degré : $\frac{t^2}{t^4}=\frac1{t^2}$.
Un équivalent de $\frac{\sin t}{t^{3/2}}$ quand $t\to0^+$ est :
$\sin t\sim t$ en $0$, donc $\frac{\sin t}{t^{3/2}}\sim\frac t{t^{3/2}}=t^{-1/2}$.
Quand $t\to+\infty$, laquelle de ces relations est vraie ?
Toute puissance positive de $t$ l'emporte sur toute puissance de $\ln t$, et l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $t^3e^{-t}\to0$ et $e^{-t}=o\left(\frac1{t^2}\right)$.
Si ce bloc te pose problème : revoir Analyse asymptotique
Séries numériques
La série $\sum_{n\ge1}\frac1{n\sqrt n}$ :
$\frac1{n\sqrt n}=\frac1{n^{3/2}}$ et $\frac32>1$ : série de Riemann convergente.
$f$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$. La série $\sum f(n)$ converge si et seulement si :
C'est la comparaison série-intégrale. $f(n)\to0$ est nécessaire, pas suffisant ($f(t)=\frac1t$). La condition $f(n)=o\left(\frac1n\right)$ n'est ni nécessaire ni suffisante en général.
Si $\sum u_n$ converge, alors forcément :
$u_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$. Les autres sont faux : $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge sans convergence absolue.
Si ce bloc te pose problème : revoir Séries numériques
Préambule : Intégration sur un intervalle quelconque · Cours : Intégration sur un intervalle quelconque