Intégration sur un intervalle quelconque
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 2e année.
Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).
Prérequis
- Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, intégration par parties, changement de variable
- Primitives usuelles et théorème fondamental de l'analyse
- Équivalents, développements limités et croissances comparées
- Séries numériques : séries de Riemann, comparaison série-intégrale — Revoir Séries numériques
À la fin du chapitre, on sait
- Déterminer la nature d'une intégrale généralisée en traitant chaque borne séparément
- Utiliser les intégrales de référence et les théorèmes de comparaison pour les fonctions positives
- Distinguer intégrale convergente et fonction intégrable, et traiter un cas semi-convergent par parties
- Rédiger une intégration par parties ou un changement de variable sur un intervalle quelconque
- Obtenir un équivalent d'un reste ou d'une intégrale partielle par intégration des relations de comparaison
1.Intégrales généralisées
Intégrale convergente sur $[a,b[$
Soit $-\infty<a<b\le+\infty$ et $f$ continue par morceaux sur $[a,b[$. On dit que l'intégrale $\int_a^bf(t)\,\mathrm dt$ converge si la fonction $x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$ a une limite finie quand $x\to b^-$. On note alors $$\int_a^bf(t)\,\mathrm dt=\lim_{x\to b}\int_a^xf(t)\,\mathrm dt.$$ Sinon, l'intégrale diverge. Même définition sur $]a,b]$ avec une limite en $a^+$.
Intégrale sur un intervalle ouvert
Si $f$ est continue par morceaux sur $]a,b[$, l'intégrale $\int_a^bf$ converge si, pour un $c\in]a,b[$, les deux intégrales $\int_a^cf$ et $\int_c^bf$ convergent. Ce choix de $c$ n'a pas d'importance (relation de Chasles), et $\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf$.
Les deux bornes séparément
$\int_{-x}^xt\,\mathrm dt=0$ pour tout $x$, et pourtant $\int_{-\infty}^{+\infty}t\,\mathrm dt$ diverge : $\int_0^xt\,\mathrm dt=\frac{x^2}2\to+\infty$. On étudie toujours chaque borne indépendamment, sans faire tendre les deux en même temps.
Intégrale faussement impropre
Si $b$ est fini et si $f$, continue par morceaux sur $[a,b[$, a une limite finie en $b$, alors $\int_a^bf$ converge : $f$ se prolonge en une fonction continue par morceaux sur $[a,b]$. Exemple : $\int_0^1\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge, car $\frac{\sin t}t\to1$ en $0$.
Intégrales de référence
- Riemann en $+\infty$ : $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, et vaut alors $\frac1{\alpha-1}$.
- Riemann en $0$ : $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$, et vaut alors $\frac1{1-\alpha}$.
- Riemann en une borne finie : $\int_a^b\frac{\mathrm dt}{(b-t)^\alpha}$ et $\int_a^b\frac{\mathrm dt}{(t-a)^\alpha}$ convergent si et seulement si $\alpha<1$.
- Exponentielle : $\int_0^{+\infty}e^{-at}\,\mathrm dt$ converge si et seulement si $a>0$, et vaut $\frac1a$.
- Logarithme : $\int_0^1\ln t\,\mathrm dt$ converge et vaut $-1$.
Pour $\alpha\ne1$ et $x>1$ : $\int_1^x\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}=\frac{x^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$, qui a une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $1-\alpha<0$ ; pour $\alpha=1$, $\int_1^x\frac{\mathrm dt}t=\ln x\to+\infty$. En $0$, $\int_x^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}=\frac{1-x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ a une limite finie en $0^+$ si et seulement si $1-\alpha>0$, et $\int_x^1\frac{\mathrm dt}t=-\ln x\to+\infty$. Les bornes finies s'y ramènent par translation. Enfin $\int_0^xe^{-at}\,\mathrm dt=\frac{1-e^{-ax}}a$ pour $a\ne0$, et $\int_x^1\ln t\,\mathrm dt=\left[t\ln t-t\right]_x^1=-1-x\ln x+x\to-1$.
Propriétés
Sur les intégrales convergentes : linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance ($a<b$). Si $\int_a^bf$ converge, le reste $x\mapsto\int_x^bf$ tend vers $0$ quand $x\to b$. Si $f$ est continue et $\int_a^bf$ converge, $x\mapsto\int_x^bf$ est dérivable de dérivée $-f$.
2.Fonctions positives : théorèmes de comparaison
Fonctions positives
Si $f$ est continue par morceaux et positive sur $[a,b[$, l'intégrale $\int_a^bf$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto\int_a^xf$ est majorée sur $[a,b[$. Sinon, elle tend vers $+\infty$.
$F:x\mapsto\int_a^xf$ est croissante sur $[a,b[$ puisque $f\ge0$ (relation de Chasles et positivité). Par le théorème de la limite monotone, $F$ a une limite en $b$, finie si et seulement si $F$ est majorée, égale à $+\infty$ sinon.
Théorèmes de comparaison
Soit $f,g$ continues par morceaux et positives sur $[a,b[$.
- Si $f\le g$ au voisinage de $b$, ou si $f(t)\underset{t\to b}=O(g(t))$ : $\int_a^bg$ converge $\Rightarrow\int_a^bf$ converge.
- Si $f(t)\underset{t\to b}\sim g(t)$ : $\int_a^bf$ et $\int_a^bg$ ont la même nature.
Trois intégrales qui convergent
- $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm dt$ : fonction continue sur $[0,+\infty[$ et $t^2e^{-t^2}\to0$, donc $e^{-t^2}=o\left(\frac1{t^2}\right)$ en $+\infty$.
- $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,\mathrm dt$ : $t^{3/2}\cdot\frac{\ln t}{t^2}=\frac{\ln t}{\sqrt t}\to0$, donc $\frac{\ln t}{t^2}=o\left(\frac1{t^{3/2}}\right)$.
- $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{\sin t}}$ : $\frac1{\sqrt{\sin t}}\sim\frac1{\sqrt t}$ en $0$, positive, et $\frac12<1$.
Étudier la convergence d'une intégrale
- Repérer tous les points à problème : bornes infinies, bornes où $f$ n'est pas définie ou pas bornée. Couper l'intervalle en morceaux qui n'ont chacun qu'un seul problème.
- Pour chaque problème, si $f$ est de signe constant au voisinage : chercher un équivalent et comparer à une intégrale de Riemann, ou étudier $t^\alpha f(t)$.
- Si $f$ change de signe : étudier $|f|$ (intégrabilité), et sinon une intégration par parties (voir $\frac{\sin t}t$).
- Conclure : l'intégrale converge si et seulement si chaque morceau converge.
Intégrales de Bertrand
Pour $\beta\in\mathbb R$, $\int_e^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t(\ln t)^\beta}$ converge si et seulement si $\beta>1$. En effet, le changement de variable $u=\ln t$ ramène à $\int_1^{\ln x}\frac{\mathrm du}{u^\beta}$. Plus généralement, $\int^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ : même énoncé que pour les séries.
3.Fonctions intégrables
Fonction intégrable
Une fonction $f$ continue par morceaux sur un intervalle $I$, à valeurs réelles ou complexes, est intégrable sur $I$ si $\int_I|f|$ converge. On dit aussi que l'intégrale $\int_If$ est absolument convergente.
Intégrable implique convergente
Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_If$ converge et $\left|\int_If\right|\le\int_I|f|$.
Cas réel. Posons $f^+=\max(f,0)$ et $f^-=\max(-f,0)$. Ce sont des fonctions positives, continues par morceaux, avec $f^\pm\le|f|$ : leurs intégrales convergent par comparaison. Comme $f=f^+-f^-$, $\int_If$ converge par linéarité. L'inégalité s'obtient sur un segment, puis en passant à la limite.
Cas complexe. $|\mathrm{Re}\,f|\le|f|$ et $|\mathrm{Im}\,f|\le|f|$ : on applique le cas réel aux parties réelle et imaginaire.
Comparaison et espace des fonctions intégrables
- Si $|f|\le g$ au voisinage des bornes, ou si $f=O(g)$, avec $g$ intégrable, alors $f$ est intégrable.
- Les fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$ forment un espace vectoriel, sur lequel $f\mapsto\int_If$ est linéaire.
- Si $f$ est continue, intégrable et $\int_I|f|=0$, alors $f=0$.
Une intégrale semi-convergente
$\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge : par parties sur $[1,x]$, $$\int_1^x\frac{\sin t}t\,\mathrm dt=\left[-\frac{\cos t}t\right]_1^x-\int_1^x\frac{\cos t}{t^2}\,\mathrm dt,$$ le crochet a une limite finie et $\frac{\cos t}{t^2}$ est intégrable (dominée par $\frac1{t^2}$). Mais $t\mapsto\frac{\sin t}t$ n'est pas intégrable : $\frac{|\sin t|}t\ge\frac{\sin^2t}t=\frac1{2t}-\frac{\cos2t}{2t}$, et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos2t}{2t}$ converge (même méthode) alors que $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{2t}$ diverge. Comme $\frac{\sin t}t\to1$ en $0$, on en déduit que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge ; sa valeur est $\frac\pi2$ (exercice de concours).
Intégrable n'implique pas « tend vers $0$ »
Contrairement au terme général d'une série convergente, une fonction intégrable sur $[0,+\infty[$ ne tend pas forcément vers $0$. Exemple : la fonction continue, nulle sauf sur des « pics » triangulaires de hauteur $n$ et de base $\frac2{n^3}$ centrés en chaque entier $n\ge2$. L'aire du pic $n$ vaut $\frac1{n^2}$, la fonction est intégrable, mais elle prend la valeur $n$ en $n$. En revanche, si $f$ est intégrable et a une limite en $+\infty$, cette limite est nulle.
4.Techniques de calcul
Intégration par parties sur un intervalle quelconque
Soit $u,v$ de classe $\mathcal C^1$ sur $]a,b[$, telles que $uv$ a une limite finie en $a$ et en $b$. Alors $\int_a^bu'v$ et $\int_a^buv'$ sont de même nature, et en cas de convergence $$\int_a^bu'(t)v(t)\,\mathrm dt=\big[uv\big]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)\,\mathrm dt,$$ où $\big[uv\big]_a^b=\lim_buv-\lim_auv$.
Rédiger une intégration par parties
Le plus sûr est de faire l'intégration par parties sur un segment $[x,y]\subset]a,b[$, puis de faire tendre $x$ vers $a$ et $y$ vers $b$, en justifiant l'existence de chaque limite. On évite ainsi d'écrire un crochet ou une intégrale qui divergent.
$\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\mathrm dt=n!$
Notons $I_n=\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\mathrm dt$ : elle converge, car $t^ne^{-t}=o\left(\frac1{t^2}\right)$ en $+\infty$. Par parties sur $[0,x]$ : $$\int_0^xt^{n+1}e^{-t}\,\mathrm dt=\left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^x+(n+1)\int_0^xt^ne^{-t}\,\mathrm dt.$$ Quand $x\to+\infty$, $x^{n+1}e^{-x}\to0$, donc $I_{n+1}=(n+1)I_n$. Comme $I_0=1$, on obtient $I_n=n!$.
Changement de variable
Soit $\varphi:]\alpha,\beta[\to]a,b[$ une bijection de classe $\mathcal C^1$, strictement croissante, et $f$ continue sur $]a,b[$. Alors $\int_a^bf(t)\,\mathrm dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm du$ sont de même nature et égales en cas de convergence. Pour $\varphi$ strictement décroissante, les bornes s'échangent.
Deux changements de variable
- $\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt t}\,\mathrm dt$ : avec $t=u^2$ ($u\in]0,+\infty[$, $\mathrm dt=2u\,\mathrm du$), elle vaut $\int_0^{+\infty}2ue^{-u}\,\mathrm du=2$.
- $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{e^t+e^{-t}}$ : avec $u=e^t$ ($\mathrm dt=\frac{\mathrm du}u$), elle vaut $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm du}{u^2+1}=\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4$.
La fonction Gamma
Pour $x\in\mathbb R$, $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm dt$ converge si et seulement si $x>0$ : en $0$, $t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}$, intégrable si et seulement si $1-x<1$ ; en $+\infty$, $t^{x-1}e^{-t}=o\left(\frac1{t^2}\right)$. La même intégration par parties que ci-dessus donne $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$, et $\Gamma(n+1)=n!$.
5.Intégration des relations de comparaison
Cas intégrable : comparaison des restes
Soit $g$ positive et intégrable sur $[a,b[$, et $f$ continue par morceaux sur $[a,b[$.
- Si $f(t)\underset{t\to b}=o(g(t))$, alors $f$ est intégrable et $\int_x^bf\underset{x\to b}=o\left(\int_x^bg\right)$.
- Même énoncé avec $O$.
- Si $f\underset b\sim g$, alors $\int_x^bf\underset{x\to b}\sim\int_x^bg$.
Cas non intégrable : comparaison des intégrales partielles
Soit $g$ positive et non intégrable sur $[a,b[$, et $f$ continue par morceaux sur $[a,b[$.
- Si $f\underset b=o(g)$, alors $\int_a^xf\underset{x\to b}=o\left(\int_a^xg\right)$.
- Même énoncé avec $O$.
- Si $f\underset b\sim g$, alors $\int_a^xf\underset{x\to b}\sim\int_a^xg$.
Cas non intégrable, relation $o$. Notons $G(x)=\int_a^xg\to+\infty$. Soit $\varepsilon>0$ et $c\in[a,b[$ tel que $|f|\le\varepsilon g$ sur $[c,b[$. Pour $x\in[c,b[$, $$\left|\int_a^xf\right|\le\left|\int_a^cf\right|+\varepsilon\int_c^xg\le K+\varepsilon G(x),$$ avec $K$ indépendant de $x$. Comme $G(x)\to+\infty$, $K\le\varepsilon G(x)$ pour $x$ assez proche de $b$, d'où $\left|\int_a^xf\right|\le2\varepsilon G(x)$. Le cas $\sim$ s'en déduit en écrivant $f-g=o(g)$. Le cas intégrable est analogue, en majorant directement $\left|\int_x^bf\right|\le\varepsilon\int_x^bg$.
Reste de l'intégrale de Gauss
Posons $h(t)=-\frac{e^{-t^2}}{2t}$ pour $t>0$. Alors $h'(t)=e^{-t^2}+\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\sim e^{-t^2}$ en $+\infty$. La fonction $e^{-t^2}$ est positive et intégrable, donc $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm dt\underset{x\to+\infty}\sim\int_x^{+\infty}h'(t)\,\mathrm dt=0-h(x)=\frac{e^{-x^2}}{2x}.$$
Une intégrale partielle divergente
$g(t)=\frac{e^t}t$ est positive et non intégrable sur $[1,+\infty[$. La dérivée de $\frac{e^t}t$ vaut $\frac{e^t}t-\frac{e^t}{t^2}\sim g(t)$. Donc $$\int_1^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt\sim\int_1^x\left(\frac{e^t}t\right)'\mathrm dt=\frac{e^x}x-e\sim\frac{e^x}x.$$
Trouver un équivalent d'une intégrale
Comme pour les séries : trouver une fonction $h$ dont la dérivée est équivalente à l'intégrande (souvent l'intégrande divisée par la dérivée de l'exposant), puis intégrer la relation. Choisir le bon cas : restes si la fonction est intégrable, intégrales partielles sinon. La fonction de comparaison doit être positive.
Comparaison série-intégrale
Si $f$ est continue par morceaux, positive et décroissante sur $[a,+\infty[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ ont la même nature. De plus, la série de terme général $\int_{n-1}^nf(t)\,\mathrm dt-f(n)$ converge toujours (ses termes sont positifs et sa somme partielle est majorée par $f(\lceil a\rceil)$ à un terme près).