Préambule : Intégration sur un intervalle quelconque (Prépa, 2e année)
Intégrales généralisées, fonctions intégrables, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison : le chapitre qui prépare les intégrales à paramètre et la fonction Gamma, avec les grands classiques des concours (Gauss, Dirichlet, Wallis, Frullani).
Préambule : l'intégration de première année
Le chapitre étend l'intégrale du segment aux intervalles quelconques ; tous les calculs se font sur un segment avant de passer à la limite. Relis ces rappels si le test de niveau t'a classé « à consolider ». Si un bloc était « à reprendre », refais d'abord le chapitre de première année indiqué.
Intégrale sur un segment
Pour $f,g$ continues par morceaux sur $[a,b]$ :
- linéarité et relation de Chasles ;
- positivité : $f\ge0\Rightarrow\int_a^bf\ge0$ ($a\le b$), et croissance ;
- inégalité triangulaire : $\left|\int_a^bf\right|\le\int_a^b|f|$ ;
- si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle, alors $f=0$ sur $[a,b]$.
Théorème fondamental de l'analyse
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction $F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$ et $F'=f$. Pour toute primitive $G$ de $f$ : $\int_a^bf=G(b)-G(a)$.
Intégration par parties
Pour $u,v$ de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$ : $$\int_a^bu'(t)v(t)\,\mathrm dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)\,\mathrm dt.$$ On dérive le facteur qui se simplifie ($t^n$, $\ln t$, $\arctan t$) et on intègre l'autre ($e^t$, $\cos t$, $t^n$).
Changement de variable
Si $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[\alpha,\beta]$ et $f$ continue sur $\varphi([\alpha,\beta])$ : $$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathrm dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm du.$$ On remplace $x$, $\mathrm dx=\varphi'(u)\,\mathrm du$ et les bornes.
Primitives à connaître
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Croissances comparées
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Le sens des exposants de Riemann
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