Formule de Stirling : énoncé (MP)

Posons $v_n=\ln\left(\frac{n!\,e^n}{n^{n+1/2}}\right)$ pour $n\ge1$. Un calcul direct donne $v_{n+1}-v_n=1-\left(n+\frac12\right)\ln\left(1+\frac1n\right)$, et le développement $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+O(x^4)$ conduit à $$v_{n+1}-v_n=-\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right).$$ La série télescopique $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge absolument, donc $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$, et $n!\sim C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n$ avec $C=e^\ell>0$. La valeur $C=\sqrt{2\pi}$ s'obtient avec les intégrales de Wallis : c'est le problème du chapitre, ou celui du chapitre sur les intégrales généralisées. La démonstration n'est pas exigible, mais la méthode l'est.