Prépa, 2e année › Séries numériques et familles sommables › Cas divergent : comparaison des sommes partielles

Cas divergent : comparaison des sommes partielles : énoncé (MP)

Théorème

Cas divergent : comparaison des sommes partielles

Soit $(v_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum v_n$ diverge, et $(u_n)$ une suite complexe.

Si $u_n=o(v_n)$, alors $\sum_{k=0}^nu_k=o\left(\sum_{k=0}^nv_k\right)$.
Si $u_n=O(v_n)$, même conclusion avec $O$.
Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$ (et $\sum u_n$ diverge).

Démonstration : Cas divergent : comparaison des sommes partielles

Démonstration

Cas $o$. Notons $V_n=\sum_{k=0}^nv_k\to+\infty$. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|u_k|\le\varepsilon v_k$ pour $k>N$. Pour $n>N$ : $$\left|\sum_{k=0}^nu_k\right|\le\left|\sum_{k=0}^Nu_k\right|+\varepsilon\sum_{k=N+1}^nv_k\le C_N+\varepsilon V_n,$$ où $C_N$ ne dépend pas de $n$. Comme $V_n\to+\infty$, on a $C_N\le\varepsilon V_n$ pour $n$ assez grand, donc $\left|\sum_{k=0}^nu_k\right|\le2\varepsilon V_n$. Le cas $\sim$ s'en déduit comme plus haut.

Exemple

Reste d'une série de Riemann

Soit $\alpha>1$. Un développement limité donne $$\frac1{(k-1)^{\alpha-1}}-\frac1{k^{\alpha-1}}=\frac1{k^{\alpha-1}}\left(\left(1-\frac1k\right)^{1-\alpha}-1\right)\sim\frac{\alpha-1}{k^\alpha}.$$ Les termes $\frac1{k^\alpha}$ sont positifs et la série converge ; par sommation des équivalents (cas convergent) et télescopage : $$\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha}\sim\frac1{\alpha-1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac1{(k-1)^{\alpha-1}}-\frac1{k^{\alpha-1}}\right)=\frac1{(\alpha-1)\,n^{\alpha-1}}.$$ Par exemple, $\sum_{k>n}\frac1{k^2}\sim\frac1n$.

Exemple

Développement asymptotique de la série harmonique

Posons $u_n=H_n-\ln n$, qui tend vers $\gamma$ (préambule). Pour $k\ge2$, $$u_k-u_{k-1}=\frac1k+\ln\left(1-\frac1k\right)=-\frac1{2k^2}+O\left(\frac1{k^3}\right)\sim-\frac1{2k^2}.$$ Par sommation (cas convergent, appliquée à des termes de signe constant), $\gamma-u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(u_k-u_{k-1})\sim-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{2k^2}\sim-\frac1{2n}$. D'où $$H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}+o\left(\frac1n\right).$$

S’entraîner

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