Cas convergent : comparaison des restes : énoncé (MP)

Cas $o$. La convergence absolue vient de la comparaison des séries positives $\sum|u_n|$ et $\sum v_n$. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|u_k|\le\varepsilon v_k$ pour $k\ge N$. Pour $n\ge N$, $$\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\right|\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}|u_k|\le\varepsilon\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k.$$ Cas $\sim$. On applique le cas $o$ à $u_n-v_n=o(v_n)$ : $R_n(u)-R_n(v)=o(R_n(v))$, c'est-à-dire $R_n(u)\sim R_n(v)$. Le cas $O$ est identique au cas $o$ avec une constante fixe.