Lemme : p divise les coefficients binomiaux intermédiaires : énoncé (Maths expertes)

On utilise la relation $k\binom{p}{k} = p\binom{p-1}{k-1}$, valable pour $1 \leqslant k \leqslant p$. Elle s'obtient avec les factorielles : $$k \binom{p}{k} = k \times \frac{p!}{k!\,(p-k)!} = \frac{p \times (p-1)!}{(k-1)!\,(p-k)!} = p \binom{p-1}{k-1}.$$ Ainsi $p$ divise $k\binom{p}{k}$. Comme $1 \leqslant k \leqslant p-1$, $p$ premier ne divise pas $k$, donc $\mathrm{PGCD}(p, k) = 1$. Par le théorème de Gauss, $p$ divise $\binom{p}{k}$.