PGCD et combinaisons linéairesRésoudre une congruenceRaisonner sur les diviseurs
Soit $n$ un entier naturel. On note $d = \mathrm{PGCD}(3n + 5, 2n + 1)$.
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Montrer que $d$ divise $7$. En déduire les valeurs possibles de $d$.
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Montrer que $d = 7$ si et seulement si $n \equiv 3 \;[7]$.
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Donner la valeur de $d$ pour $n = 10$, puis pour $n = 2025$.
Indice 1
Chercher une combinaison de $3n+5$ et de $2n+1$ dans laquelle $n$ disparaît.
Indice 2
Comme $7$ est premier, $d = 7$ équivaut à : $7$ divise $3n + 5$ et $2n + 1$.
Indice 3
Pour résoudre $2n \equiv -1 \;[7]$, multiplier par un inverse de $2$ modulo $7$.
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