Pour tout entier naturel $n$, on pose $A_n = 3^{2n+2} + 2^{6n+1}$.
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Calculer $A_0$ et $A_1$.
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Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $11$ divise $A_n$.
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Déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, le reste de la division euclidienne de $A_n$ par $9$.
Écrire $3^{2n+2} = 9 \times 9^n$ et $2^{6n+1} = 2 \times 64^n$.
Réduire $64$ modulo $11$ : on retrouve un nombre déjà présent dans l'expression.
Modulo $9$, que vaut $9^{n+1}$ ? Et $64$ ?
1. $A_0 = 3^2 + 2^1 = 11$ et $A_1 = 3^4 + 2^7 = 81 + 128 = 209 = 11 \times 19$.
2. Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $3^{2n+2} = 9^{n+1} = 9 \times 9^n$ et $2^{6n+1} = 2 \times (2^6)^n = 2 \times 64^n$.
Or $64 = 5 \times 11 + 9$, donc $64 \equiv 9 \;[11]$ et $64^n \equiv 9^n \;[11]$. Ainsi $$A_n \equiv 9 \times 9^n + 2 \times 9^n = 11 \times 9^n \equiv 0 \;[11].$$ Donc $11$ divise $A_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. Comme $n + 1 \geqslant 1$, $3^{2n+2} = 9^{n+1} = 9 \times 9^n \equiv 0 \;[9]$.
De plus $64 = 7 \times 9 + 1$, donc $64 \equiv 1 \;[9]$ et $2^{6n+1} = 2 \times 64^n \equiv 2 \;[9]$.
Ainsi $A_n \equiv 0 + 2 = 2 \;[9]$. Comme $0 \leqslant 2 < 9$, le reste de la division de $A_n$ par $9$ est $2$ pour tout $n$. Contrôle : $A_0 = 11 = 9 + 2$ et $A_1 = 209 = 9 \times 23 + 2$.
11 divise A_n ; reste 2 modulo 9