Algorithme d'Euclide et coefficients de BézoutThéorème de GaussRésoudre une équation diophantienne
On considère l'équation $(E) : 23x - 17y = 4$, d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs.
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À l'aide de l'algorithme d'Euclide, montrer que $23$ et $17$ sont premiers entre eux, puis déterminer deux entiers $u$ et $v$ tels que $23u - 17v = 1$.
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En déduire une solution particulière de $(E)$.
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Résoudre $(E)$ dans $\mathbb{Z}^2$.
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Déterminer les solutions de $(E)$ telles que $0 < x < 40$.
Indice 1
L'algorithme d'Euclide se termine en quatre divisions.
Indice 2
Multiplier la relation de la question 1 par $4$.
Indice 3
Soustraire membre à membre l'équation et l'égalité vérifiée par la solution particulière, puis utiliser le théorème de Gauss.
Indice 4
Exprimer $x$ en fonction de $k$ et encadrer $k$.
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