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Propriétés de calcul : énoncé (Maths expertes)

Propriété

Propriétés de calcul

Soient $a$ et $b$ des entiers non tous deux nuls.

$\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(b, a) = \mathrm{PGCD}(|a|, |b|)$.
Si $a \neq 0$, $\mathrm{PGCD}(a, 0) = |a|$.
Si $b \mid a$ avec $b \neq 0$, alors $\mathrm{PGCD}(a, b) = |b|$.
Pour tout entier $q$, $\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(b, a - bq)$. En particulier, si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b > 0$, alors $\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(b, r)$.

Démonstration : Propriétés de calcul

Démonstration

Preuve du point 4

On montre que les couples $(a, b)$ et $(b, a - bq)$ ont exactement les mêmes diviseurs communs.

Si $d \mid a$ et $d \mid b$, alors $d$ divise la combinaison $a - bq$. Donc $d$ est un diviseur commun de $b$ et $a - bq$.
Si $d \mid b$ et $d \mid a - bq$, alors $d$ divise $(a - bq) + qb = a$. Donc $d$ est un diviseur commun de $a$ et $b$.

Les deux ensembles de diviseurs communs sont égaux, donc ils ont le même plus grand élément.

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