-
Effectuer la division euclidienne de $1000$ par $13$.
-
Effectuer la division euclidienne de $-100$ par $7$.
-
Un entier $a$ a pour reste $5$ dans la division euclidienne par $7$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3a + 4$ par $7$.
Pour la question 1, chercher le plus grand multiple de $13$ inférieur ou égal à $1000$.
Pour la question 2, le multiple de $7$ cherché doit être inférieur ou égal à $-100$ : le reste doit être positif.
Pour la question 3, traduire l'hypothèse par une congruence modulo $7$, puis calculer $3a+4$ modulo $7$.
1. On a $13 \times 76 = 988$ et $13 \times 77 = 1001$. Donc $988 \leqslant 1000 < 1001$ et $$1000 = 13 \times 76 + 12 \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant 12 < 13.$$ Le quotient est $76$ et le reste est $12$.
2. Le quotient est le plus grand entier $q$ tel que $7q \leqslant -100$. Or $7 \times (-14) = -98 > -100$ et $7 \times (-15) = -105 \leqslant -100$. Donc $$-100 = 7 \times (-15) + 5 \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant 5 < 7.$$ Le quotient est $-15$ et le reste est $5$. L'écriture $-100 = 7 \times (-14) - 2$ est exacte mais ce n'est pas la division euclidienne, car $-2 < 0$.
3. Par hypothèse, $a \equiv 5 \;[7]$. La congruence est compatible avec la multiplication et l'addition, donc $$3a + 4 \equiv 3 \times 5 + 4 = 19 \;[7].$$ Or $19 = 2 \times 7 + 5$, donc $3a + 4 \equiv 5 \;[7]$. Comme $0 \leqslant 5 < 7$, le reste de la division euclidienne de $3a + 4$ par $7$ est $5$.
1000 = 13×76 + 12 ; −100 = 7×(−15) + 5 ; reste 5